Limiti, equivalenze asintotiche, ordine di infinitesimo, di infinito e loro confronto

Analisi matematica

Calcolo dei limiti

Esercizi svolti

Equivalenze locali

Infinitesimi infiniti e loro confronto Novembre 2021

Calcola i seguenti limiti utilizzando la gerarchia degli infiniti 1

Pillole di teoria

→Infinitesimo per → →Si dice che una funzione f(x) è un infinitesimo per quando il limite di f (x) per è uguale a 0.

→Date due funzioni se entrambe sono infinitesimi per allora il limite del loro rapporto si presenta in forma indeterminata: 0lim 0→sono infinitesimi simultanei

Quale dei due infinitesimi tende a 0 “più rapidamente”? →Possiamo stabilire ciò determinando il limite (se esiste) del loro rapporto per 2→ 0

Esempi di infinitesimi equivalenti per sono: sin ~ , ln 1 ~ 1~, 34

Infinitesimo campione: ∞

Confrontiamo con l’infinitesimo campione, usiamo il modulo per x per considerare i due casi a1 | |$3! ! ! %01 3→∞ →∞ →∞| | | |$ &il limite è finito e diverso da zero e vale uno se l’esponente è uguale a quello di x al denominatore, quindi:|x| x se 1γ γ

L’ordine di infinitesimo è 1

Infinitesimo campione: *)

Confrontiamo f(x) con l’infinitesimo campione:, ./0! ! % 0 1se γ- -→+ →+

N.B. Ricordiamo infatti il limite notevole: tan! 1→+4sin ⋅ 1 ~ ⋅246 4lim sin x ⋅ e 1 ~ lim x ⋅ 2x lim 2x6→+ 6→+ 6→+

Infinitesimo campione: *)

Confrontiamo f(x) con l’infinitesimo campione: 42x4lim 2x lim 7 %0 8 & 2x6→+ 6→+ γ

Infinitesimo campione: $19 9+ 2

Passiamo a calcolare il limite: 51 4x 4lim $1; = 2=6→: 4: >; ;calcoliamo prima il limite da destra: , il tutto vale anche per :4 4:;per 41 4x 1 4x4 4→ $ $1 1? @= =2 22x 1 2x 11 2x 1A B γ2 2x 11?2@ 2x 1γ γ>;2x 12 ⋅ L%0⇔ 1 0→ 12x 1γ γ γγ>;7 0 8 0F&F1& 1%0→ E 7 ∞ 8 &G1

Se 2 sin 2 1 cos 4 2 8 K2 1 LM842 sin 2 sin 2 sin 2 sinJ 4 J 4 J 4 J 42 sin ∼ O P →0J 4

Cerco una g(x) tale che: SQR02 sin ? 2 @∼ O P →0J 4 4 4 4Sperché: 6sin4 →142 2 2∼ ∞O P →02 sin