Limiti

Intorni

Chiamiamo intorno centrato in x₀ e di raggio r > 0 l'intervallo aperto (x₀ - r, x₀ + r) e scriviamo:

Chiamiamo intorno di x₀ un intervallo aperto del tipo (-∞, k): {x ∈ ℝ: x < k}.

Chiamiamo intorno di +∞ un intervallo aperto del tipo (k, +∞): {x ∈ ℝ: x > k}.

Sia: f: A ⊆ ℝ → ℝ, S. Che che lim_x→+∞ f(x) = l < +∞ se per ogni x₀ esiste K > 0 tale che x ∈ (k₁ + ∞) ∧ f(x) = l.

Limiti delle funzioni continue e elementari

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ una funzione e sia x₀ ∈ A un punto di accumulazione di A.

Diciamo che f è continua in x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Se f è continua in ogni punto di un intervallo diciamo che f è continua nell'intervallo.

Le seguenti funzioni elementari:

• Potenza (E.s.; y = x², y = x³, ...)
• Esponenziali (E.s.; y = b^x, y = e^x, ...)
• Logaritmiche (E.s.; y = log_x, y = ln_x, ...)
• Goniometriche (E.s.; y = sin x, y = cos x, ...)

Sono continue in tutti i punti del loro insieme di definizione.

N.B.: Tutte le funzioni che si possono ottenere con somme, prodotti, quozienti e composizioni di funzioni elementari sono continue nel loro insieme di composizione.

Intorni

Chiamiamo intorno centrato in x₀ e di raggio > 0 l'intervallo aperto (x₀ - <, x₀ + <).

Chiamiamo intorno di x₀ un intervallo aperto del tipo (-∞, K): {x ∈ ℝ: x < K}.

(K, +∞): {x ∈ ℝ: x > K}.

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ. Si dice che lim_x→∞ f(x) = +∞.

Se per ogni x₀ esiste K > 0 tale che x ∈ (K, +∞) ∩ A ⇒ f(x) > M.

Limiti delle funzioni continue e elementari

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ una funzione e sia x₀ ∈ A un punto di accumulazione di A. Si dice che f è continua in x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Se f è continua in ogni punto di un intervallo diciamo che f è continua nell'intervallo.

Le seguenti funzioni elementari:

• Polinomi (Es: y = x³, y = x² + 1, ...)
• Funzioni esponenziali (Es: y = a^x, y = e^x, ...)
• Funzioni logaritmiche (Es: y = log_ax, y = ln x, ...)
• Funzioni goniometriche (Es: y = sin x, y = cos x, ...)

Sono continue in tutti i punti del loro insieme di definizione.

NB: Tutte le funzioni che si possono ottenere con somme, prodotti, quozienti e composizioni di funzioni elementari sono continue nel loro insieme di composizione.

Limiti di funzioni razionali per x → x₀

Se il denominatore non si annulla il limite esiste.

lim_x→2 ^x+1/_2-x = ³/₀

Lim DX = [+³/_0^-] = -∞

Lim SX = [+³/_0⁺] = +∞

lim_x→2 ^x+1/_2-x = +∞ [Non esegue]

lim_x→0 ^x+1/_{x² -7x+5} = 0 S.A.CU' sempre positivo sia da DX e SX.

Limiti di funzioni razionali per x → ∞

lim_x→+∞ ^{x3 - 5x + 4}/_{2x³ -5} = [∞/∞] 0 0 0 0 ^{x3(1 - 5/_x3)}/_x³ = +∞

Risoluti:

lim_x→+∞ ^{x4 - 3x}/_{2x⁴ +5} = [∞/∞]

lim_{x→* -∞} ^{5x(1 - -3/_x4)}/₀ = 0

lim_x→-*∞ ^{x2 - x}/_x⁴ = [∞/∞]

lim_{x→* -∞} ^{x2(1 - -3/_x4)}/₀ = ²/₇

Limiti con esponenti e logaritmi

Scala di confronto log_x x ≪ x^b ≪ c^x

lim_x→+∞ ^{x6 - x5}/_3x⁶ = [∞/∞] 0 0

lim_x→+∞ ^{x(1 - 5/_3x6)}/₀ = ∞ 0

lim_x1/x = log_x x = [∞/∞]

lim_x→∞x ^{x6(1 - -7/_x0-)/ex}/_ex(ax-1)

lim_x→∞ ^{(log₇x + x)}/_ex ^{(0/) = 1/₃/}

Limiti delle funzioni composte

Esercizio 1

\[\lim_{x \to 0} \cos \left(3 \frac{x}{2}\right) = 1\]

Esercizio 2

\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 4}{5x} \cdot \lim_{x \to 0} x^{\frac{5}{2}} = \frac{t^2}{t} = \sqrt{t}\]

g: \( x \to \frac{2x}{x} = \frac{x(t-z)}{(t-z)z} = \frac{1}{z^z} \)

Quantità limitata.

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^2 + \ln x)}{5x^2 + 4} = 0\]

Teorema dei carabinieri del confronto:

\(\frac{-1}{5x^2 + 4} \leq \frac{\sin (x^2 + \ln x)}{5x^2 + 4} \leq \frac{1}{5x^2 + 4}\)

\[\lim_{x \to 0} \frac{-1}{5x^2 + 4} = 0\]

\[\lim_{x \to 0} \frac{1}{5x^2 + 4} = 0\]

Esempio 3

\[\lim_{x \to 2} \sqrt{x-2} = 0^+\]

\[\lim_{x \to 2} \frac{x-4}{\sqrt{x-2}} = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}} = \frac{x-4}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{2}\]

Teorema del confronto

Siano f(x), g(x), h(x) definite in un I(c)x.

1. F(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
2. \(\lim_{x \to c} f(x) = k = \lim_{x \to c} h(x)\)

Allora \(\lim_{x \to c} g(x) = k\).

Esempio: f(x) = x², g(x) = x, h(x) = -x²

Grafico:

f(x): x → 0, x → 0

g(x): x

h(x): x → 0, x → 0

Limiti notevoli

1. _x→∞lim ^x→0lim x = x^x
2. _n→∞lim ^{(1 + 1/_n)n} = e

Limiti riconducibili del 1^o

_x→0lim ^tgx/_x = 1/cos²x = 1 ∀x ∈ ℝ

_x→0lim ^{cosx − 1}/_x = −1

Es. 1: _x→0lim ^{sin x + 4}/_x

Es. 2: _x→0lim ^cosx−cos2x/_x² = 1/2

Limiti riconducibili del 2^o

_x→0lim ^ln(1+x)/x = ¹/₀

Ricorda: _x→0lim ^{ln x}/_x = 0

_n→∞lim ^y/_ln(1+y) = 1

_y→∝lim (1+y) = ^x/_y, x² = y+1 → x = ln(∝g)

Esercizi sui limiti

Es. 1 lim_x→0 ^tg(3x)/_x = [⁰/₀] = lim_x→0 ^tg(3x)/_3x ⋅ 3 = 3 lim_x→0 ^tg(3x)/_3x = 3 lim_y→0 ^tg(y)/_y = 3

Es. 2 lim_x→0 ^{ln (1 + √(2 x))}/_x = [⁰/₀] = lim_x→0 ^{ln (1 + √(2 ⋅ x))}/_{√(2 ⋅ x)} ⋅ √2 = √2 lim_y→0 ^{ln (1+y)}/_y = √2

Es. 3 lim_x→0 ^{ln (1 + sin x)}/_{sin x} = [⁰/₀] = 1

Es. 4 lim_x→0 ^{ln (1 + sin x)}/_x = [⁰/₀] = lim_x→0 ^{(1 + sin x)}/_x ⋅ ^{sin x}/_{sin x} = lim_x→0 ^{ln (1 + sin x)}/_{sin x} ⋅ ^{sin x}/_x = 1

Es. 5 lim_x→0 ^{x⁴ - cos √x}/_x = [⁰/₀] = lim_x→0 ^{x⁴-4 + 4⋅ cos √x} = lim_x→0 ^{x⁴ -4 + 1-cos(√x)}/_x = 3/2

Equivalenze asintotiche

lim_x→x0 è asintoticamente equivalente a quando x tende a 0.

"Due funzioni f(x) e g(x) si dicono asintoticamente equivalenti per x→x₀ se x→x₀ f(x)∼g(x) per x→x₀.

Dei limiti notevoli si ricava facilmente che, per x→0, sin x∼x, 1 - cos x ∼^x2₂, e^x∼1 + x ⥮ ln (1+x)∼x, (1+x)^x∼1 Factor x.

Proprietà

1. Se f₁(x)∼g₁(x) e f₂(x)∼g₂(x) x→x₀ ⥮, f₁(x)⋅f₂(x)∼g₁(x)⋅g₂(x) per x→x₀ ed in particolare se il limite dei due prodotti esiste, sono uguali.
2. Se f₁(x)∼g₁(x) e f₂(x)∼g₂(x) x→x₀ ⥮, f₁(x)^f₂(x)∼g₁(x) per x→x₀ ed in particolare se il limite dei due rapporti esistono, sono uguali.
3. X log f(x)∼g(x) per x→x₀

Es. 1 lim_x→0 ^{(3x+1)⋅sin(1☓)}_{log (2x²)} = ⁰∕₀ per x→0 ^3x2₁∼3x, sin(4✕)∼x xx∈log(2x²)∼2x² quit lim_x→0 ^{(3x-1)⋅sin(1☓)}_log(2x²) = ^x∕₆

Es. 2 lim_x→0 ^{√1-cos x}_{ln (2x²)} = ⁰∕₀ per x→0: 1-Cos x∼^x2₂⥮, √1-cost∼^√xx₂, ln(1+2x)∼2x√1-cos²x²∼^√₁/₂x^1√2

For: x∼¹_√²ln^1+x∼log ₂ equate x²

O piccolo

Date 2 funzioni: f(x) e g(x) definite in un intorno I:₀ ∈ ℝ. Si dice che g(x) è o-piccolo di g(x) se: lim_x→x0 f(x)/g(x) = 0 e si scrive f(x) = o(g(x)) per x → x₀.

Intuitivamente allora se f(x) è o-piccolo di: g(x) per x → x₀, significa a dire che f(x) è infinitamente piccola, rispetto a g(x), quando x → x₀.

x² o(x) per x → 0 infatti lim_x→0 x²/x = lim_x→0 x = 0 (per x → 0).

Proprietà interessanti

o(x) ± o(x) = o(x) o(xⁿ). o(x^m) = o(x^n+m)

xⁿ ⋅ o(x^m) = o(x^n+m), n > m: o(xⁿ) se n > m o(xⁿ) + o(x^m) = o(xⁿ) se n < m.

Per x → 0 è possibile dimostrare che sin x ∼ x avremo sin x = x + o(x³).

1 - cos x ∼ x²/2 avremo 1 - cos x ∼ x²/2.

tg x ∼ x avremo tg x = x + o(x).

e^x - 1 ∼ x avremo e^x - 1 = x + o(x).

(1+x)ⁿ - 1 = nx + o(x).

ln (1+x) ∼ x avremo ln (1+x) = x + o(x).

Esempio: sin x² + 3x + ln (x + 2.5) = x + o(x³) + 3x + 2x³ o(x) = x³ o(x³).

NB: o(kxⁿ) = o(xⁿ).

Formula di Taylor con resto di Peano

La formula di Taylor consente e' approssimare, almeno localmente, tutte le funzioni sufficientemente regolari con polinomi:

Sia \(f(x)\) una funzione definita in un certo intervallo \((\delta ,\delta )\) con qualche \(\delta >0\) e supponiamo che:

• \(f(x)\) sia derivabile n-m volte nell'intervallo
• Esista la derivata n-sima polinoma in 0

In questo caso \(f(x) = T_m(x) + 0(x^m)\) per \(x \rightarrow 0\).

Data \(T_m(x)\) e il polinomio di grado m dato dalla seguente formula:

\(T_m(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(x)}{3!} x^3 + ... + \frac{f^{(m)}(0)}{m!} x^m = \sum_{k=0}^{m} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k\)

Sviluppo di Taylor di alcune funzioni elementari

\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + ... + o(x^n)\)

\(sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... + o(x^{2n+1})\)

\(cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... + o(x^{2n})\)

\(tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + ...\)

\(sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + ... + o(x^{2n+1})\)

\(cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + ... + o(x^2n)\)

\(tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + ...\)

\(log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)\)

\(arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ... + o(x^{2n+1})\)

\((1 + x)^{a} = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2} x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!} x^3 + ... + \frac{(a)^n}{n!} x^n + o(x^n)\)

Esempio: \(f(x) = e^x\) \(T_2(x) = 1+x+ \frac{x^2}{2} \Rightarrow f(x) = T_2(x)+o(x^4)\) \(T_3(x) = 1+x+ \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \Rightarrow f(x) = T_3(x)+o(x^4)\).

Esempio:

\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x - \sin x + x^3}{x^3}\)

\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^3 + o(x^3) + x \cdot x^5}{x^3} - \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^3 + o(x^3)}{x^1} = \lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{-x}{18} + \frac{o(x^4)}{3x^3} \right] = - \frac{1}{18}\)

Esercizio 2: \(f(x) = 3 \ln x - \cos x\), \(m = 4\)

Esercizio 3: \(f(x) = \sin x - \cos x\), \(m = 4\)

Esercizio 4: \(f(x) = \sin (3x) - \sin (x)\), \(m = 4\)

\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{3x}{x^3} = \frac{x}{2} + o(x^4)\)

Limite con Taylor

Es. 1: lim_x→0 ^{tg x - x}/_x³ = [0] = lim_x→0 x³/₃ + o(x³)

N: tg x = x + x³/₃ + o(x³) - x

D: x_x³(1/₃ ⁺ o(x³))_x³1/₃ = x ^-6= ^x/₃

Es. 2: lim_x→0 ^{sin x2 - (sin x)2}/_x⁴ = [ ^{x + o(x)}/₂ - ^{(4x + x2)}/₁ - ^{x2 + o(x3)}/₆ + o(x⁴)- ^{1/₂ - 1/₂ - 3/₂}

sin x = x + o(x³)(x + o(x²)) sin x² = x⁴/₄ sin x + sin o(x + x²)= x⁴/₆ + o(x³)

sin x = x + o(x)4/(x + o(x²)) - 1/₂(x + o(x²))o(x + o(x^1/1)) = o(x + o(x³))1/(x + o(x^1/3))(4x + x² o(x²)₄sin² x - x²/_xlim = x ^{x3/₆ + o(x3)} - x² x x⁴/₆ + o(x₃)= x/₆

Ordine di infinitesimo e parte principale

Se per x → 0, f(x) ∼ Kx^α (con α > 0) si tea che: f(x) è un infinitesimo di ordine α Kx^α è la parte principale.

Es. 1: Determinare l'ordine di infinitesimo e parte principale di: f(x) = sin x.

Noi sappiamo che ∼ x per x → 0 → f(x) è un infinitesimo di ordine 1 con parte principale x.

Es. 2: Determinare l'ordine di infinitesimo e parte principale di: f(x) = cos x - 1.

Noi sappiamo che ∼ x²/2 per x → 0 → f(x) è un infinitesimo di ordine 2 con parte principale x²/2.

NB: f(x) ∼ Kx^α è equivalente a f(x) = Kx^α + o(x^α).

Es. 3: Determinare l'ordine di infinitesimo e parte principale di: f(x) = √(x + x) - √x - x.

Quindi f(x) è un infinitesimo di ordine 3 e x^3/8 è la parte principale.

Osservazione 1

Bisogna fare attenzione agli ordini di infinitesimo: prodotti simili contengono infinitesimi di ordine superiore.

Esempio lim_x→0 ^{sin x + x2 + 2x5}/_{x + sin(x²)} = lim_x→0 ^{sin x}/_x = 1.

Osservazione 2

Conoscere la parte principale può essere utile per tracciare il grafico qualitativo di un funzione nell'intorno di x = 0.