Limiti con cambio di variabile - Es. 18

Esercitazione 18

Limiti in forme indeterminate risolvibili con un cambio di variabile

442   _limx→0 ^{e3x - e2x}⁄_{x² - 3x}   [^-1⁄₃]

443   _limx→+∞ (1 + ^x⁄_{2x² + 1})^x   [√e]

Esercitazione 18

Limiti in forme indeterminate risolvibili con un cambio di variabile

442. _limx→0 ^{e3x - e2x}⁄_{x² - 3x} [^-1⁄₃]

443. _limx→+∞ (1 + ^x⁄_{2x² + 1})^x [√e]

N^o 4h12

lim_x→0 ^{e3x - e2x}/_{x² - 3x} = ⁰/₀

f^attorizziamo N e D

e^3x - e^2x = e^2x(e^x - 1)

x² - 3x = x (x - 3)

= _limx→0 ^{e2x ⋅ (ex - 1)}/_{x ⋅ (x - 3)}

= _limx→0 ^{ex - 1}/_x ⋅ _limx→0 ^e2x/_{x - 3}

= 1 ⋅ ¹/_-3 = ^-1/₃

N^o 4h3

limite _x→+∞ (1 + ^x/_{2x² + 1})^x = x⁰

poniamo y = ¹/_x → 0

= _limy→0 (1 + ¹/_y ⋅ ^{2 - 1}/_{y² + 1})^1/y

= _limy→0 (1 ± ¹/_{y(y² + 1)})^1/y

= _limy→0 (1 + ¹/_{2y + y²})^1/y

= _limy→0 (1 + ^y/_{2 + y²})^1/y