Le esche del pescatore

Le esche del pescatore

Meccanica dei fluidi

Le esche del pescatore Meccanica dei fluidi

Un pescatore, per attirare i pesci, getta nell’acqua del fiume delle esche di forma sferica aventi ciascuna raggio r = 0,5 cm e densità ρ = 2 g/cm³. Sapendo che la corrente del fiume, la cui profondità è d = 4 m, ha velocità costante v_c = 0,5 m/s, quanto più a monte dovranno essere lanciate le esche affinché raggiungano il fondo del fiume in corrispondenza del punto in cui il pescatore ha posizionato la sua lenza? Qual è il tempo impiegato dalle esche per arrivare sul fondo?

Si fa l’ipotesi che la velocità della corrente sia costante in tutti i punti del fiume. Vengono inoltre forniti i seguenti dati numerici: densità dell’acqua ρ₀ = 10³ kg/m³; viscosità dell’acqua η = 10⁻³ (N · s)/m²; coefficiente di forma della sfera k = 0,4; accelerazione di gravità g = 9,8 m/s².

Poiché le esche sono sfere piene e la loro densità è superiore a quella dell’acqua, esse certamente affondano ed il loro moto è di tipo viscoso a causa della resistenza del mezzo. Inoltre si può ritenere che la spinta di Archimede S non può essere trascurata nei calcoli perché la densità delle sfere è solo doppia di quella dell’acqua. Infatti, detto V = (4/3) π r³ il volume di una sferetta, ricordando che m = ρ V e che S = ρ₀ V g, possiamo scrivere:

m g − S = (4/3) π r³ g (ρ − ρ₀) (1)

Il calcolo numerico fornisce m g = 10⁻² N ed S ≅ 5,1 × 10⁻³ N; quindi la spinta è circa il 50% del peso mentre (m g − S) ≅ 4,9 × 10⁻³ N.

Per quanto riguarda l’analisi del moto viscoso, indicata con m la massa di una sferetta e detta v_r la velocità di regime (vedere in proposito i problemi del capitolo III), possiamo scrivere l’equazione:

m g − S − c₁ v_r − c₂ v²_r = 0 (2)

Il termine c₁ v_r della (2), come già visto nel problema 3.6, esprime la legge di Stokes e c₁ = 6 π η r è una costante che dipende dalla viscosità dell’acqua e dal raggio della sfera. La costante c₂ = (½) k ρ₀ π r² del termine quadratico, dipende invece dalla densità dell’acqua, dalla superficie della sfera e dal coefficiente di forma k.

Possiamo verificare subito che, nel nostro caso, il termine lineare c₁ v_r può essere trascurato. Infatti la velocità critica v_c (vedere in proposito il problema 3.6) paragonata al valore v_{r 1} della velocità di regime, deducibile dalla legge di Stokes, risulta molto piccola (v_c << v_{r 1}). Numericamente si trova:

v_c = (12 η)/(k ρ₀ r) ≅ 6 × 10⁻³ m/s

v_{r 1} = {m g − S}/(6 π η r) ≅ 52 m/s

I valori ottenuti consentono di ignorare nella (2) il termine di Stokes e, ricordando il valore di c₂, di scriverla nella forma:

(m g – S) – (½) k ρ₀ π r² v_r² = 0 (3)

Combinando la (1) con la (3) otteniamo:

(4/3) π r³ g (ρ – ρ₀) – (½) k ρ₀ π r² v_r² = 0

che, semplificata opportunamente e risolta per v_r, ci consente di dedurre:

v_r = √^{8 r g}⁄_{3 k} [^ρ⁄_ρ0 – 1]

ma essendo ρ/ρ₀ = 2, si ottiene semplicemente:

v_r = √^{8 r g}⁄_{3 k} ≍ 0,57 m/s (Figura 10.4)

Va sottolineato che v_r è la velocità che le esche avrebbero cadendo nel fiume in quiete, ma poiché, man mano che esse affondano, sono trascinate dalla corrente, è necessario combinare vettorialmente le velocità v₀ e v_r ricavando così il modulo della velocità risultante v (Figura 10.4):

v = √v₀² + v_r² ≍ 0,76 m/s