Il pescatore

Il pescatore

Il pescatore

Un pescatore, sulla sua barca, rema contro corrente con velocità costante v relativa alla corrente, muovendosi di moto rettilineo uniforme. Ad un certo istante il suo porta-lenze di sughero cade nel fiume rimanendo a galla.

Dopo 20 minuti il pescatore se ne accorge e, invertito il senso della remata, torna indietro con la stessa velocità relativa v ma questa volta con la corrente del fiume a favore. Rintraccia il suo porta-lenze ad un chilometro dal punto dove l'aveva perduto.

Calcolare la velocità della corrente del fiume

Calcolare la velocità v₀ della corrente del fiume.

Svolgimento

Il problema presenta un tranello perché fa ricorso a due diversi sistemi di riferimento.

Uno è quello della corrente del fiume, l'altro è quello della riva.

Infatti la velocità v della barca è relativa alla corrente, mentre il punto nel quale viene ritrovato il porta-lenze è riferito alla riva.

La soluzione è facilissima se si considera come riferimento iniziale la corrente del fiume. In tal modo il pescatore impiegherà complessivamente 40 minuti per ritrovare il porta-lenze (20 minuti contro corrente e 20 minuti a favore di corrente).

Quindi, poiché durante questo tempo il porta-lenze percorre 1 Km rispetto alla riva, la velocità v₀ della corrente è espressa da:

v₀ = 1 Km/(40 min = 2/3 h) = 1.5 Km/h

Se invece cerchiamo di risolvere il problema nel sistema di riferimento della riva, i calcoli sono sicuramente più complessi ed appesantiti (apparentemente) da una incognita in più cioè la velocità relativa v. Infatti, fissato il sistema di riferimento nel punto dove è caduto il porta-lenze, detto t₁ il tempo complessivo, t₁ = 20 min = 1/3 h il tempo della prima parte del percorso, x₀ l'ascissa del punto ove viene ritrovato il porta-lenze (ovvero x₀ = -1 Km) e chiamata x₁ l'ascissa del punto ove il pescatore inverte la remata (come in figura) potremo scrivere:

x = -v₀t   equazione moto del porta-lenze

x = (v-v₀)t   equazione moto del pescatore controcorrente

x = x₁-(v+v₀)(t-t₁)   equazione moto del pescatore a favore di corrente

Sostituendo i dati noti nelle prime due equazioni e ponendo nella terza x=x₀ e t=t₀ e si trova:

t₀ = -  ^x₀/_v0

x₁ = (v−v₀)t₁

x₀ = x₁(v+v₀)(t₀−t₁)

Completando le sostituzioni nell'ultima, si ottiene l'equazione risolvente:

x₀ = (v−v₀)t₁(v+v₀) ^[x₀]        &sub1; [_v0]t₁

Che, con semplici passaggi algebrici conduce a:

v  ^{( 2t₁+ x₀)}  _v0 = 0 (1)

Poiché deve essere v≠0 si ottiene:

v₀=−^(  x₀) ( &sub1;   )^2t₁

Da cui sostituendo i valori noti di x₀ e t, si trova: v₀=  ³=1,5 Km/h.  2