Le dimostrazioni di Huygens

Le dimostrazioni di Huygens

Dinamica del punto materiale

Le dimostrazioni di Huygens

Dinamica del punto materiale

Le seguenti proposizioni sono state estratte dall'opera di Huygens Horologium Oscillatorium, in cui l'autore presenta alcuni teoremi sulla forza centrifuga.

Le dimostrazioni date da Huygens furono trovate tra le sue carte dopo la sua morte. Date mai dimostrazione:

• A) Se un corpo si muove su una circonferenza con una velocità costante e di valore uguale a quella che acquisterebbe cadendo da un'altezza pari ad un quarto del diametro, esso esercita una forza centrifuga uguale al suo peso; cioè esso tira la corda con la stessa forza che eserciterebbe se fosse sospeso ad essa.
• B) Se due corpi, sospesi a fili di lunghezza diversa, sono fatti ruotare cosicché le loro traiettorie siano circonferenze su piani orizzontali, mentre l'altro capo del filo rimane fissato, in mancanza che le altezze dei corpi descritti in questo modo siano uguali, allora i tempi in cui compiono i loro cammini sono uguali.

Dimostrazione del punto a

A) Un corpo che parte con velocità nulla, cadendo con l'accelerazione di gravità, percorre in un tempo t uno spazio s = 1/2 a t² da cui t = sqrt(2s/g).

Al termine della caduta, il corpo ha una velocità v = gt = sqrt(2gs).

Se s = D/4 dove D è il diametro di una circonferenza, si ha v = sqrt(2g D/4) = sqrt(gD/2).

Se ora il corpo ruota sulla circonferenza di raggio D/2 con la velocità sqrt(gD/2) esercita una forza centrifuga sulla corda m v²/(D/2) = m [sqrt(gD/2)]²/(D/2) = mg che è la forza che eserciterebbe sulla corda se vi fosse sospeso.

Dimostrazione del punto b

B) Per entrambi i corpi, la componente radiale della risultante delle forze peso e tensione della fune imprime un'accelerazione radiale.

Per il primo corpo si ha se R₁ è il raggio della circonferenza sul piano orizzontale

-mg + T₁ cos v₁ = 0

T₁ sen v₁ = m a_n = m v₁²/R₁

Per il secondo corpo

-mg + T₂ cos v₂ = 0

T₂ sen v₂ = m a_n = m v₂²/R₂