Lavoro sulla linea spezzata

Lavoro sulla linea spezzata

Lavoro ed energia

fisica

esercizi

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La forza costante F si sposta dal suo punto di applicazione seguendo la spezzata ABCD composta dai segmenti: AB = BC = CD = s. Sapendo che F è inclinata di θ rispetto ad AB, che la sua direzione è parallela a quella del segmento BC e che il punto D giace sul prolungamento di AB (Figura 4.1 ), calcolare, in funzione di θ, il rapporto tra il lavoro totale L compiuto dalla forza F e quello L₀ relativo al solo percorso AB.

Calcoliamo separatamente il lavoro compiuto dalla forza sui tre segmenti del percorso. Dato che, per ipotesi, il vettore F è costante in modulo, direzione e verso, vale l'equazione generale che definisce il lavoro come prodotto scalare dei vettori forza e spostamento^o:

L = F · s = F s cosθ

per il tratto AB possiamo dunque scrivere:

L_AB = L₀ = F s cosθ

(1)

Lungo il tratto BC, dato che F è ad esso parallela (θ = 0^o e quindi cos0^o = 1), il lavoro è:

L_BC = F s

(2)

Per quel che concerne l’ultimo tratto, osserviamo che il triangolo BCD è isoscele con base BD. Pertanto gli angoli CD̂B e CB̂D sono uguali ed in particolare deve essere CB̂D = θ (angoli corrispondenti uguali delle parallele F e BC tagliate dalla trasversale AB ). Allora l’angolo al vertice del triangolo isoscele è espresso da:

BĈD = π − 2θ. Dunque nel punto C la direzione di F forma con quella del segmento CD l’angolo [π−(π−2θ)] = 2θ. Pertanto possiamo scrivere:

L_CD = F s cos2θ            (3)

Il lavoro totale è dunque espresso da:

L = L_AB + L_BC + L_CD

cioè:

L = F s cosθ + F s + F s cos2θ            (4)

Da una nota formula trigonometica: cos2θ = 2cos²θ −1 e quindi la (4), con qualche passaggio, può scriversi:

L = F s cosθ ( 2 cosθ + 1 )            (5)