Ker e Im della funzione

Applicazione lineare e sottospazio: ker e Im della funzione f. f iniettiva e/o suriettiva

Applicazione lineare e sottospazio: ker e Im della funzione f. f iniettiva e/o suriettiva

Si consideri l'applicazione lineare f : R⁴ → R³ tale che (x₁, x₂, x₃, x₄) ↦ (x₁ + x₂, x₂ + x₄, x₁ − x₃) ed il sottospazio V = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | 2x₁ + x₂ − x₃ = 0}

1. Determinare ker f e Im f. Stabilire se f è iniettiva e/o suriettiva.
2. Trovare ker f ∩ V.
3. Determinare V^⟂ rispetto al prodotto scalare standard.

a) Ker f e Im f

Consideriamo la matrice A associata all'applicazione lineare f.

A = (1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 -1 0) | 1 1 0 0 | | 0 1 0 1 | | 1 0 -1 0 |

Osserviamo che 1 1 0 0 1 1 1 0 -1 ≠ 0, ossia rg A = 3 = dim Im f, da cui Im f = R³, ossia f è suriettiva.

Per il teorema del rango si ha dim ker f = 4 − dim Im f = 1, da cui f non è iniettiva.

Determiniamo ker f:

x₁ + x₂ = 0
x₂ + x₄ = 0
x₁ − x₃ = 0

Da cui ker f = I((1, −1, 1, 1)).

b) Ker f ∩ V

Ora x = (x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ ker f ∩ V ⇔ x ∈ ker f e x ∈ V ⇔ x = (x₃, −x₃, x₃, x₃) e 2x₁ + x₂ − x₃ = 0.

Da cui 2x₃ − x₃ − x₃ = 0, ossia ker f ⊂ V e ker f ∩ V = ker f.

c) Base di V

Determiniamo una base di V:

x = (x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ V ⇔ 2x₁ + x₂ − x₃ = 0.

Da cui x = (x₁, x₂, x₃, x₄) = x₁(1, 0, 2, 0) + x₂(0, 1, 1, 0) + x₄(0, 0, 0, 1).