Iperbole riferita al centro e agli assi con fuochi su x

Geometria analitica nel piano

Iperbole riferita al centro e agli assi con fuochi su x

In sintesi, l'iperbole riferita al centro e agli assi con i fuochi sull'asse x presenta le seguenti caratteristiche:

• Asintoti: y = ± ^b/_a x
• a: semiasse traverso
• b: semiasse non traverso
• c: semidistanza focale
• Vertici: A₁(a ; 0), A₂(-a ; 0)
• Vertici immaginari: B₁(0 ; -b), B₂(0 ; b)

Esempio svolto

Determinare vertici, assi, fuochi e asintoti dell'iperbole di equazione 4x² – 9y² – 36 = 0 e rappresentare graficamente la curva.

Svolgimento

Per prima cosa dobbiamo scrivere l'equazione data nella forma canonica:

4x² – 9y² – 36 = 0 → 4x² – 9y² = 36 → ⁴/₃₆x² – ⁹/₃₆y² = ³⁶/₃₆ → ^x2/₉ – ^y2/₄ = 1

Essendo a² = 9 e b² = 4, ricaviamo:

• a = 3
• b = 2
• c² = a² + b² = 9 + 4 = 13 → c = √13

I vertici dell'iperbole sono i punti A₁(-3 ; 0) e A₂(3 ; 0) e l'asse traverso A₁A₂ misura 2a = 6.

I vertici immaginari sono i punti B₁(0 ; -2) e B₂(0 ; 2) e l'asse non traverso B₁B₂ misura 2b = 4.

I fuochi sono i punti F₁(√13 ; 0) e F₂(√13 ; 0) e la distanza focale F₁F₂ misura 2c = 2√13.

Gli asintoti sono le rette di equazione y = ± ^b/_a x, quindi y = ± ²/₃ x.