Integrali iterati

Analisi II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 9 — 13 gennaio 2011 © § → ⊆ –

1) Funzione olomorfa e costanza

Sia f : E ⊆ C → C una funzione olomorfa su E ⊆ C aperto connesso. Dimostrare che se f assume solo valori reali, allora f è costante.

(§) Dimostrare che se f ha modulo costante, cioè |f(z)| = C, allora f è costante.

2) Curva chiusa e indice

§ – Sia γ : [a, b] → C una curva chiusa C¹ che non passa per l’origine e consideriamo la funzione F : [a, b] → C definita come

F(s) = ∫_a^s γ′(t) / γ(t) dt.

• Punto (i): Calcolare la derivata F′(s).
• Punto (ii): Data la funzione G(s) = γ(s)e^−F(s), dimostrare che G è costante su [a, b], calcolandone la derivata.
• Punto (iii): Dedurne che e^−F(b) = 1 e quindi F(b) = 2πin per qualche intero n, positivo o negativo.
• Punto (iv): Concludere che il numero I_γ(0) = 1 / 2πi ∫_γ dz / z è sempre un numero intero. Questa è la definizione rigorosa del “numero dei giri che γ fa intorno a z = 0”, e si chiama l’indice di γ rispetto a 0, o anche numero di avvolgimento. Sapreste scrivere la formula per il numero dei giri I_γ(z₀) intorno a un punto arbitrario z₀?

3) Integrali iterati

© – Calcolare i seguenti integrali iterati, prima nell’ordine dydx e poi nell’ordine inverso:

∫₃⁴ ∫₁² dy / (x² + y²) dx, ∫₀¹ ∫₀¹ x³ / (1 + y²) dx dy, ∫₁² ∫₁² (x² + x + y) dy dx.

4) Integrale su un quadrato

© – Calcolare l’integrale ∫∫_Q f(x, y) dxdy dove Q è il quadrato [0, 1] × [0, 1] e f(x, y) è una delle funzioni seguenti:

• f(x, y) = 1 − x − y se x + y ≤ 1, f(x, y) = 0 altrimenti;
• f(x, y) = xy se x² + y² ≤ 1, f(x, y) = 0 altrimenti;
• f(x, y) = x + y se x² ≤ y ≤ x, f(x, y) = 0 altrimenti.

5) Integrale su C

© – Calcolare ∫∫_C e^x / y³ dx dy, C = [0, 1] × [1, 2].

6) Stima senza calcolo diretto

§ – Verificare, senza calcolare l’integrale, che

7π[ln(3) − ln(4)] ≤ ∫∫_C ln[(y − x + 2)⁷] dx dy ≤ 7π ln(3), C = {(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 1}.

7) Integrale su dominio C

§ – Calcolare il seguente integrale:

∫∫_C e^y/x dx dy, C = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ y ≤ 2, y / 2 ≤ x ≤ min(y, 1)}.

8) Integrale su R²

© – Calcolare, se esiste, ∫∫_R² dx dy / (1 + x² + y²)².

9) Integrale su Q

© – Calcolare il seguente integrale:

∫∫_Q x√|y| / (1 + √|y|) dxdy, dove Q = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2}.

10) Integrale

© – Calcolare il seguente integrale: ∫∫ dxdy / (1 + x).