Integrali iterati

Analisi II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 9 — 13 gennaio 2011

©§ → ⊆

– 1) Sia f : E C una funzione olomorfa su E C aperto connesso. Dimostrare che se f assume solo

|f

valori reali, allora f è costante. (§) Dimostrare che se f ha modulo costante (cioè (z)| = C) allora f è

costante. 1

§ →

– 2) Sia γ : [a, b] C una curva chiusa C che non passa per l’origine e consideriamo la funzione

→

F : [a, b] C definita come s 0

Z γ (t) dt.

F (s) = γ(t)

a

0

(i) Calcolare la derivata F (s). −F (s)

(ii) Data la funzione G(s) = γ(s)e , dimostrare che G è costante su [a, b] (calcolandone la derivata).

−F (b)

(iii) Dedurne che e = 1 e quindi F (b) = 2πin per qualche intero n (positivo o negativo).

(iv) Concludere che il numero Z

1 dz

I (0) =

γ 2πi z

γ

è sempre un numero intero. Questa è la definizione rigorosa del “numero dei giri che γ fa intorno a z = 0”,

e si chiama l’indice di γ rispetto a 0 (o anche numero di avvolgimento). Sapreste scrivere la formula per il

numero dei giri I (z ) intorno a un punto arbitrario z ?

γ 0 0

© – 3) Calcolare i seguenti integrali iterati, prima nell’ordine dydx e poi nell’ordine inverso:

4 2 1 1 2 2

2 √

Z Z Z Z Z Z

dy x 3

dx , dx dy, dx (x + x + y)dy.

2 2

(x + y) 1+ y

3 1 0 0 1 1

RR

© ×

– 4) Calcolare l’integrale f (x, y)dxdy dove Q è il quadrato [0, 1] [0, 1] e f (x, y) è una delle funzioni

Q

seguenti: − − ≤

f (x, y) = 1 x y se x + y 1, f (x, y) = 0 altrimenti;

2 2 ≤

f (x, y) = xy se x + y 1, f (x, y) = 0 altrimenti;

2 ≤ ≤

f (x, y) = x + y se x y x, f (x, y) = 0 altrimenti.

© – 5) Calcolare x

ZZ e y ×

dx dy , C = [0, 1] [1, 2] .

3

y

C

§ – 6) Verificare, senza calcolare l’integrale, che

ZZ 2 7 2 2 2

− ≤ − ≤ {(x, ∈ ≤

7π[ln(3) ln(4)] ln[(y x + 2) ] dx dy 7π ln(3) , C = y) : x + y 1} .

R

C

§ – 7) Calcolare il seguente integrale:

ZZ y

y 2

{(x, ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

e dx dy , C = y) : 0 y 2 , x min(y, 1)} .

x R 2

C

© – 8) Calcolare (se esiste) ZZ dx dy .

2 2 2

(1 + x + y )

2

R

© – 9) Calcolare il seguente integrale: p

|y|

Z Z x dxdy ,

p

|y|

1 +

Q

2

{(x, ∈ ≤ ≤ −1 ≤ ≤

dove Q = y) : 0 x 1 , y 2}.

R

© – 10) Calcolare il seguente integrale: Z Z dxdy ,

1+ x