Integrali doppi
Calcolare l'area del seguente dominio
D = { (x,y) ∈ ℝ2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √x }
D = ∫02 [ ∫0√x dy ] dx = ∫02 [ y ]0√x dx = ∫02 √x dx == ∫02 x1/2 dx = [ x3/2 / 3/2 ]02 = [ 2/3 x3/2 ]02 = 2/3 23/2 == 2 (3/2 + 1) / 3 = 25/2 / 3.
Integrali doppi
Calcolare l'area del seguente dominio
D = {(x, y) ∈ ℝ2: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √x}
D = ∫02[∫0√x dy] dx = ∫02[y]0√x dx = ∫02 √x dx == ∫02 x1/2 dx = [x3/2 / 3/2]02 = [2/3 x3/2]02 = 2/3 23/2 == 23/2+1 / 3 = 25/2 / 3.
2 Calcolare l'area del seguente dominio piano
I = ∬D 2y e-x² dx dy
Dove D = {(x, y) ∈ ℝ²: 0 < x < 1, 0 ≤ y ≤ √x }
= ∫01 [ ∫0√x 2y e-x² dy ] dx = ∫01 [ y² e-x² ]0√x dx == ∫01 x e-x² dx = [-2e-x² ]01 = [-2e-1 ] - [-2e0 ] = -1/2e + 1/2 == e - 1/2e.
Calcolare il seguente integrale doppio
I = ∬D sin(x - y) dx dy =
Dove D = {(x,y) ∈ ℝ2: 0 < x < π/2, 0 < y < π/2 - x}
= ∫0π/2 [ ∫0π/2 - x sin(x - y) dy ] dx = ∫0π/2 [ cos(x - y) ]0π/2 - x dx == ∫0π/2 [ cos(x - π/2 + x) - cosx ] dx = ∫0π/2 [ cos(2x - π/2) - cosx ] dx == [ 1/2 sin(2x - π/2) - sinx ]0π/2 = 1/2 sinπ/2 - sinπ/2 - 1/2sin(-π/2) + sin0 == 1/2 (1) - 1 + 1/2 + 0 = 1/2 - 1 + 1/2 = 0
4 Calcolare il seguente integrale doppio
I = ∫∫D x y2 dx dy =
Dove D è il triangolo di vertici (0;0), (2;0) (1;1).
Si trovano le rette che definiscono i lati del triangolo che individua il dominio D.
La retta passante per i punti (0;0), (1;1):
y = x
La retta passante per i punti (1;1), (2;0):
y = -x + 2
= ∫01 [ ∫0x x y2 dy ] dx + ∫12 [ ∫0-x+2 x y2 dy ] dx == ∫01 [ y3/3 x ]0x dx + ∫12 [ y3/3 x ]0-x+2 dx == ∫01 x4/3 dx + ∫12 x(2-x)3/3 dx == [1/3 · x5/5]10 + 1/3∫12x(8-x3-12x+6x2)dx == [x/15]10 + 1/3∫12(8x-x4-12x2+6x3)dx == [x/15]10 + 1/3[4x2-x5/5-6x3+6/4x4]21 == 1/15 + 1/3[16-32/5-32+3/2·16-4+1/5·4-3/2] == 1/15 + 1/3[80-32-160+120+4/5-3/2] = 1/15 + 1/3[0/5-3/2] == 1/15 + 1/3·[(18-15)/10] = 1/15 + 1/3·3/10 = 1/15 + 1/10 == 2+3/30 =
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