Integrali definiti, interpretazione geometrica e proprietà

L'integrale definito

Il concetto di integrale definito

Interpretazione geometrica dell’integrale definito

Proprietà dell’integrale definito

L’integrale definito

Il concetto di integrale definito

Interpretazione geometrica dell’integrale definito

Proprietà dell’integrale definito

Simbologia

• È il secondo estremo di integrazione
• È la funzione integranda
• È il primo estremo di integrazione
• È la variabile di integrazione
• Il risultato del calcolo di un integrale definito è un numero reale

Integrale definito

Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Si chiama integrale definito della funzione f nell’intervallo [a, b] il lim_n→∞ S_n, essendo S_n una somma di Riemann della funzione f nell’intervallo [a, b]. L’integrale definito della funzione f nell’intervallo [a, b] viene indicato con il simbolo: che si legge «integrale da a a b di f(x) in dx».

Interpretazione geometrica dell’integrale definito

In base al significato di integrale definito come «area con segno», è immediato dedurre le seguenti proprietà, relative a funzioni pari o dispari (sempre supponendo le funzioni continue): se f è pari, allora funzione pari se f è dispari, allora ∫_-a^a f(x) dx = 0 funzione dispari.

Proprietà dell'integrale definito

Linearità dell'integrale definito

Siano f e g due funzioni continue nell’intervallo [a, b]; allora:

• ^b∫_a [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx
• ∫_a^b kf(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx per ogni k ∈ R

Esempio

∫₁² (x² + 3x) dx = ∫₁² x² dx + ∫₁² 3x dx = ∫₁² x² dx + 3 ∫₁² x dx