Integrale doppio su dominio rettangolare

Calcolo dell'integrale doppio su rettangolo

Calcolare il seguente integrale doppio:

I = ∬_R ^x/(1 + xy) dxdydove R = [0,1] × [0,2] = {(x,y) ∈ ℝ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}

Svolgimento

= ∫₀² dy ∫₀¹ ( ¹/_y - ¹/(y(xy+1)) ) dx

== ∫₀² [log|xy+1| - ¹/_y ]¹₀ dy

== ∫₀² [¹/_y - ¹/_y ( log|y+1|/y ) ] dy

== ∫₀² (¹/_y - log|y+1|/^{y2 ) dy}

= [ log|y| - ∫ log|y+1|/^{y2 dy ]2₀ =}

Calcolo dell'integrale doppio

I = ∫∫_R ^x/_1+xy dxdydove R = [0,1] × [0,2] = {(x,y) ∈ ℝ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}

= ∫₀² dy ∫₀¹ ( ¹/_y - ¹/_y(xy+1) ) dx

== ∫₀² [ ^x/_y - ¹/_y ln|xy+1|_y ]¹₀ dy

== ∫₀² [ ¹/_y - ¹/_y ( ln|y+1|_y ) ] dy

== ∫₀² ( ¹/_y - ln|y+1|_y² ) dy

== [ ln|y| - ∫ ln|y+1|_y² dy ]²₀ =

Calcolo dell'integrale con la formula per parti

∫₀² _ln(y+1) / y² dy con la Formula per Parti

∫ 1 / y² ⋅ _ln |y+1| dy == -1 / y _ln |y+1| - ∫ -1 / y ⋅ 1 / (y+1) dy

== -1 / y _ln |y+1| + ∫ 1 / y (y+1) dy

== -1 / y _ln |y+1| + ∫ (A / y + B / y+1) dy

= A (y+1) + B y = A y + A + B y = (A+B) y + A

da cui

• A + B = 0
• A = 1
• A = - B
• A = 1
• B = -1
• A = 1

= -1 / y _ln |y+1| + ∫ (1 / y - 1 / (y+1)) dy

== -1 / y _ln |y+1| + _ln |y| - _ln |y+1|

Adesso possiamo sostituire nell'integrale di partenza.

[ _ln |x| - ∫ _ln |y+1| / y² dy ]₀² =