Integrale doppio

Integrale doppio (o di area)

0) \( \int \left\lVert \frac{\partial \bar{\sigma}}{\partial u} \times \frac{\partial \bar{\sigma}}{\partial v} \right\rVert du dv = \int \langle F(\bar{\sigma}(u,v)), \frac{\partial \bar{\sigma}}{\partial u} \times \frac{\partial \bar{\sigma}}{\partial v} \rangle du dv \)

Voglio calcolare il volume sotteso dal grafico di una f(z=area).

E = [a,b] x [c,d]

f ≥ 0, f continua su E.

Definiamo una partizione di E in sottoaree.

Ri=[ai, bi] x [ci, di] di ampiezza _i = Area(Ri) ∀i=1...N.

con Ri ∩ Rj = ∅ se i ≠ j.

La somma di Riemann associata alla partizione di E.

Sp(f) = \(\sum_{i=1}^{N} f(\alpha_i, \beta_i) \Delta\)

Volume parallelepipedo costruito su Ri di altezza f(αi, βi).

\(Sp(f) \xrightarrow{\Delta \to 0} \iint\limits_{E} f(x,y) dx dy \) indipendentemente da Δ.

Se E è un rettangolo.

\(e = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx\)

0) ^∂x⁄_∂u x ^∂x⁄_∂v du dv = ^{⟨F(σ(u,v))⟩ ∂x}⁄_∂u x ^∂x⁄_∂v du dv.

Integrale doppio (o di area).

Voglio calcolare il volume sotto al grafico di una funzione f in 2 variabili:

E = [a,b] x [c,d]

f ≥ 0, f continua su E.

Definiamo una partizione di E in sottoinsiemi.

Ri = [ai,bi) x [ci,di) di ampiezza Δ = Area(Ri) V i = 1...N.

con 2i ∩ 2j = Φ se i ≠ j.

La somma di Riemann associata alla partizione di E è S_P(f) = ^N ∑ _i=1 f(ai, ci). Δ.

Volume parallelepipedo costruito su Pi di altezza f(ai, ci).

S_P(f) → ∬ f(x,y) dx dy approssimativamente dopo E.

Se E è un rettangolo, volume di altezza sotto al grafico di f relativamente alla striscia [x, x+Δx) x [c,d].

e' ≈ ^{_c ∫}_d f(x,y) dy Δx.

Visto in 3D

DEF: Se E è un rettangolo, E = [ a, b ] x [ c, d ], f continua, f : E → R, l'integrale di Riemann di f corrisponde a

∫_a^b(∫_c^df ( x, y ) dy) dx = (∫_c^d(∫_a^bf ( x, y ) dx) dy = ∫∫ f ( x, y ) dx dy.

Esempio

ES: Sia f ( x, y ) = e^x/y 1/y³, 1 < x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, calcolare l'integrale.

∫∫_Ef dx dy = (∫₁²(∫₁²e^x/y 1/y³ dx) dy = (∫₁²[ e^x/y y/y³ ]₁²) dy == ∫₁²e^2/y-e^1/y dy = ∫₁² 1/y² e^2/y e^-1/y dy = 1/y² [-1/2 e^-2/y + e 1/y²]₁² = [-1/2 e^-2/y + e 1/y²]1² == - 1/2 e + e^1/2 + 2 e - 1/2 e - 1/2 e + 1/2 e + 1/2 e + 1/2 e + 1/2 e.

Domini misurabili secondo Riemann

Riesciamo ora il caso in cui il dominio E mediante un pentagono.

∑_i=1^N mis ( Ri ) ≤ mis ( E ) Nⁱ⁼¹ mis ( Ri ).

E è misurabile secondo Riemann x la proiettiva di E è di misura 0 (area nulla ha area) ∀ ε > 0 ∃ ricoprimento di rettangoli a due a due disgiunti di ∂ E ( frontiera di E ).

tale che Σ mis(E_i) < ε.

Per definire ∫∫_E f(x,y) dxdy, consideriamo una partizione approssimante di dominio E, costituita da rettangoli [R_i].

∫∫_E f(x,y) dxdy = lim_N→∞ Σ^N_i=1 ∫∫_Ri f(x,y) dxdy.

Domini normali

• Rispetto all'asse x: E = {(x,y) ∈ &Ropf;² / α < x < b, μ(x) < y < ρ(x)} con α,β ∈ [a,b] →&Ropf;, continue. y x.
• Rispetto all'asse y: E = {(x,y) ∈ &Ropf;² / δ(y) < x < ψ(y), c < y < d}.

Integrali su domini normali

• Normale all'asse x: ∫∫_E f(x,y) dxdy = ∫_a^b(x) ( ∫_κ(x)^μ(x) f(x,y) dy) dx.
• Normale all'asse y: ∫∫_E f(x,y) dxdy = ∫_c^δ(y) ( ∫_ψ(y)^d f(x,y) dx) dy.

Esempio

Es: f(x,y) = x y².

E{ (x,y) ∈ ℝ² / 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ x } { (x,y) ∈ ℝ² / 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ √y }.

Risolviamo ⛭∬E f(x,y) dx dy = ∫01 ( ∫x2x x y2 dy ) dx = x [ y3/3 ]x2x =- ∫01 (x3/3 - x5/3 ) dx.

Proprietà

I. ∬_D (A f + B g) dx dy = A ∬_D f dx dy + B ∬_D g dx dy linearità.

∀ f ≥ g ⇔ ∬_D f(x,y) dx dy ≥ ∬_D g(x,y) dx dy.

II. Additività rispetto al dominio D. D = D₁∪D₂ / D₁∩D₂ = ∅ (oppure ci può mancare l'assioma di calunni).

∬_D f(x,y) dx dy = ∬_D1 f dx dy + ∬_D2 f dx dy.

Momento d'inerzia di una lamina di forma circolare

Supponiamo la densità β = cost.

I = ∬_D m (x²+ y²) dx dy - R ≤ x ≤ θ.

I = ∫_{-√(R²-x²)}^√(R2-x2) ( ∫_-R^R m (x²+ y²) dy ) dx = (mx²y + m y³/3)_B dx == m ∫_-R^R 2x²√(R²-x²) + 2/3 (R²-x²)³ dx sostituire x = Rcosθ.

In generale I = ∬ [(x-x_o)²+(y-y_o)²]ρ(x,y) dxdy.

Esempio: barycenter della superficie

EX BARYCENTER della SUPERFICIE Σ={(x,y,z)∈ℝ³/x²+y²≤1, z=3∖ 1/4}_{con DENSITÀ SUPERFICIALE COSTANTE} b.

Parametro di Σ σ/D⊆ℝ²→ℝ³, σ(D)=Σ.

σ(u,v)=(u,v,3-v), u²+v²≤1.

x_B = ∬ x ρdσ = ∥_D u -v uduv ∥∬ ρdσ e' la massa ∥_D ∂σ ∥.

y_B = ∥_D v ∥.

Calcoliamo x_B. ∂σ/∂u = (1,0,0) ∂σ/∂v = (0,-1,-1). ∂σ/∂u × ∂σ/∂v = √2. σ∬_D u √2 du dv= ∬_D mu.du dv = ∬_D mu.du dv/σ.

L'integrale ^B ∫∫ μ dv dv vale zero poiché il campo in una struttura di volumi O e O₁ annullano.

B = (0, 0, b).

Flusso del campo elettrico puntiforme

Flusso del campo elettrico puntiforme attraverso una sfera di centro (0, 0, 0) e raggio R.

Bisogna dare un orientamento alla sup.

E(x, y, z) = ^q/_{4πε0 (x²+y²+z²)^3/2}

x(θ, φ) = R sinθ cosφ

y(θ, φ) = R sinθ sinφ

z(θ, φ) = R cosθ

0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π.

D = [0, π] x [0, 2π].

( ∫∫ E·n dΣ = ∫∫ E·σ(θ, φ) Calcoliamo il vettore 1 alla sfera.

Dato un trip (x, y, z) il vettore sarà V = ( ^x / _R, ^y / _R, ^z / _R ).

x _∂σ x ^∂σ = det= det |θ c Rcosθy Rcosθφ -R sinθRsinyφ Rsiny sinθy Rcosθy 0=(r²sin²θ cosφ, r²sin²θ sinφ, r²sinθ cosφ) == R sinθ σ(Θ, φ).

Calcoliamo qϕ al punto τ = σ (ϑ, φ) = _q/_4πε0 σ (ϑ, φ) / R³.

∫Eσ σ (ϑ, φ) 2π x 2π = q /_4πε0 ⇒ σ (ϑ, φ), risulto σ (ϑ, φ)) = q /_4πε0 ⟨σ (ϑ, φ), σ (ϑ, φ)⟩ = q /_4πε0 . sin ϑ.

∥σ∥² = R²∬₀^2π∫₀^π q /_4πε0 sin ϑ dϑdφ = q /_4πε0 ∫₀^π sin ϑ. 2π dϑ = = q /_4πε0 [-cosϑ]₀^π 2π = q / ε₀.

Cambiamento di coordinate negli integrali doppi

Φ: A⊂R²→D⊂R² con A,D aperti. Φ invertibile (invertente).

Φ∈C¹(A), Jφ invertibile nei pt di A.

Dunque, allora ∫_Df(x,y) dxdy = ∫_A(f o φ(u,v) |det Jφ(u,v)| du dv).

Coordinate polari

EX Coordinate Polari.

{ x = ρcosϑ con ρ > 0, 0 ≤ ϑ ≤ 2π

y = ρsinϑ.

Le coordinate polari vengono spesso utilizzate per risolvere gli integrali su un dominio limitazioni da uno.

Ciocia le PC waarbij = personale Cross paese da 0 a 1 cercleare per venire e necessario da 0 a 1.

Ex: Calcolare ∫∫ (x² + y³) dA.

dA = |Jpq| ρ dθ dρ.

Minimiziamo le coordinate:

x = ρcosθ

y = ρsinθ

0 ≤ θ ≤ π.

Coordinate ellittiche

Variare: Coordi ellittiche.

x = a ρcosθ

y = b ρsinθ

|det Jpq| = a.b ρ.

Ex: Area dell'ellisse.

A = ∫∫ | J | dA;= ∫∫ abρ dθ dρ = πa.b.

Es: Parallelogrammo.