Il venturimetro

Il venturimetro

Meccanica dei fluidi

Il dispositivo schematizzato in Figura 10.10 viene detto "venturimetro". Esso è costituito da un tubo ad U, contenente ad esempio del mercurio, le cui estremità sono connesse a due parti di un condotto orizzontale aventi sezioni diverse S₁ ed S₂.

Quando il condotto è percorso da un fluido in movimento, il tubo ad U funge da manometro e consente di determinare la pressione differenziale esistente tra le due sezioni del condotto.

Si consideri ora una tubatura dell'acqua (densità dell’acqua ρ₀ = 1 g/cm³) disposta orizzontalmente, di sezione costante S₁, fatta eccezione per una strozzatura di sezione S₂ < S₁. In corrispondenza di S₂ viene inserito un venturimetro mediante il quale è possibile rilevare il dislivello h del mercurio in esso contenuto (densità del mercurio ρ_Hg = 13,6 g/cm³).

Vengono eseguite sperimentalmente le seguenti misure:

• S₁ = (1,25 ± 0,01) cm²
• S₂ = (0,50 ± 0,02) cm²
• H = (12,6 ± 0,1) cm

Determinare la velocità v₁ dell'acqua e la portata della tubatura. Calcolare inoltre l’errore assoluto che si commette nella misura della velocità, nell'ipotesi che siano affette da errore solo le grandezze misurate sperimentalmente. [Si assuma come valore dell’accelerazione di gravità g = 980 cm/s²]

Applicazione del teorema di Bernoulli

Applichiamo dapprima il teorema di Bernoulli alle due diverse sezioni del condotto, dopo aver osservato che esso è orizzontale (non ci sono variazioni di energia potenziale) e che l’acqua è un fluido pressoché incompressibile (ρ₀ = costante).

Indicate allora con p₁ la pressione in S₁, con p₂ la pressione in S₂ e con v₁ e v₂ le corrispondenti velocità dell’acqua attraverso le due sezioni, scriveremo:

p₁ + (½) ρ₀ v₁² = p₂ + (½) ρ₀ v₂² (1)

Per la legge di continuità del flusso di massa sussiste inoltre l’equazione:

v₁ S₁ = v₂ S₂ (2)

Combinando la (2) con la (1) in modo da eliminare v₂, otteniamo, con qualche spostamento:

p₁ – p₂ = (½) ρ₀ v₁² [(S₁/S₂)² – 1] (3)

Salto di pressione

Utilizzando il venturimetro, determiniamo il salto di pressione (p₁ – p₂) osservando che nei livelli A e B del tubo barometrico le pressioni devono essere uguali. Con l’aiuto della Figura 10.10 possiamo scrivere:

p₁ + ρ₀ g h₁ = p₂ + ρ₀ g h₂ + ρ_Hg g h (4)

Ricavando dalla (4) il salto di pressione otteniamo:

p₁ – p₂ = ρ_Hg g h – ρ₀ g (h₁ – h₂)

Ma, essendo (h₁ – h₂) = h, si conclude che:

p₁ – p₂ = g h (ρ_Hg – ρ₀) (5)

Combinando la (5) con la (3) e risolvendo per v₁, dopo qualche semplice passaggio algebrico, si giunge al risultato:

v₁ = S₂ √[(2 g h (ρ_Hg – ρ₀))/(ρ₀(S₁² – S₂²))] (6)

Sostituendo i valori misurati di S₁, S₂, h e gli altri dati numerici forniti dal testo, si trova:

v₁ ≅ 243,5 cm/s

La portata Q del condotto è dunque:

Q = v₁ S₁ ≅ 304 cm³/s ≅ 0,3 litri/sec

Valutazione dell'errore sulla velocità

Valutiamo ora l’errore su v₁ osservando che, in base alla (6) essa è una grandezza composta dai fattori: S₂, h^1/2, (S₁² – S₂²)^-1/2 (gli altri termini non vengono considerati perché, per ipotesi del testo, non sono affetti da errore).

In base alla teoria, l’errore relativo su v₁ deve essere uguale alla somma degli errori relativi su singoli fattori, ciascuno moltiplicato per il modulo del suo esponente. Dunque scriveremo:

Δv₁ ΔS₂ 1 Δh 1 Δ(S₁² − S₂²) ──── = ─── + ─ + ─── + ───── v₁ S₂ 2 h 2(S₁² − S₂²) (7)

Dobbiamo adesso valutare l’ultimo termine della (7) poiché le grandezze che compaiono in esso sono a loro volta composte. Ricordando anzitutto che l’errore assoluto su una differenza è la somma degli errori assoluti dei due termini della stessa, possiamo scrivere:

Δ(S₁² − S₂²) = Δ(S₁²) + Δ(S₂²) (8)

Ma, in base alla stessa legge utilizzata nell’equazione (7), gli errori relativi sui quadrati sono esprimibili nel modo seguente:

Δ(S₁²) 2 ΔS₁ ────── = ───── S₁² S₁

Δ(S₂²) 2 ΔS₂ ────── = ───── S₂² S₂

Si conclude quindi che Δ(S₁²) = 2 S₁ ΔS₁ e Δ(S₂²) = 2 S₂ ΔS₂. Sostituendo nella (8) i valori così ottenuti e combinando quest’ultima con la (7), si ottiene l’espressione definitiva:

Δv₁ ΔS₂ 1 Δh 1 2(S₁ΔS₁ + S₂ΔS₂) ──── = ─── + ─ + ─── + ──────────────── v₁ S₂ 2 h (S₁² − S₂²)

Dal testo sono noti i seguenti dati:

• ΔS₁ = 0,01 cm² S₁ = 1,25 cm²
• ΔS₂ = 0,02 cm² S₂ = 0,50 cm²
• Δh = 0,1 cm h = 12,6 cm

Usando nei calcoli una “momentanea” approssimazione di tre cifre decimali, risulta:

Δv₁ ──── = 0,040 + 0,004 + 0,017 = 0,061 v₁ (9)

Essendo v₁ = 243,5 cm/s, si deduce:

Δv₁ = 14,854 cm/s

Valore quest’ultimo che possiamo arrotondare a 15 cm/s. Si può dunque concludere che la misura di v₁ deve essere espressa nella forma intera poiché l’errore assoluto supera i valori decimali; essa è pertanto la seguente: