Il momento complessivo

Il momento complessivo

Dinamica rotazionale

Il momento complessivo

Dinamica rotazionale

Ai vertici di un triangolo equilatero di lato ℓ = 0,2 m, sono applicate tre forze _A, _B, _C, di modulo uguale (_A = _B = _C = 10 N), le cui direzioni e versi sono espressi graficamente nella Figura 7.1.1. Calcolare il momento risultante _R delle tre forze relativamente al baricentro O del triangolo e poi rispetto al piede H dell'altezza relativa al lato AB.

(Figura 7.1.1)

Ricordiamo dapprima che la definizione di momento di una forza rispetto ad un punto fisso O è espressa dal seguente prodotto vettoriale:

_R = r ∧ _F
|_R| = r F senθ

Essendo r il vettore di posizione che unisce il punto O con il punto di applicazione della forza F. L'angolo θ è quello formato dai vettori r ed F ed il suo verso di lettura è da r ad F (Figura 7.1.2). Il vettore _R, per definizione, è perpendicolare al piano individuato da r e da F ed il verso di _R, stabilito per convenzione, è uscente dal piano se, descrivendo l'angolo θ da r ad F, si osserva una rotazione antioraria, entrante nel piano se la rotazione è oraria. Adoperando la solita convenzione sui segni dei vettori, attribuiremo il segno “meno” al valore scalare di _R quando esso è entrante nel piano α ed il segno “più” quando esso è uscente.

(Figura 7.1.2)

Dopo questa premessa, calcoliamo separatamente i momenti delle forze F_A, F_B, F_C, valutando i relativi angoli θ ed i moduli dei vettori r, fissando i segni algebrici dei valori scalari in base alle convenzioni fatte. Il momento risultante M_R0 sarà la somma vettoriale dei tre momenti M_A, M_B, M_C. Osservando la Figura 7.1.3 e ricordando le proprietà geometriche dei triangoli equilateri [angoli di 60^o, altezza = (√2/√3 distanza del baricentro dai vertici = (1/3) l √3 ], deduciamo che:

• R_A = r_B = r_C = ^l/_√3 = ^√3/₁₅ m
• Θ_A = 120^o; θ_B = 30^o; θ_C = 150^o

Inoltre M_A e M_C sono negativi mentre M_B è positivo. Indicato con M_R0 il modulo del momento risultante, possiamo scrivere:

M_R0 = - F_A r_A sen θ_A + F_B r_B sen θ_B - F_C r_C sen θ_C

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

M_R0 = 10 ⋅ ^√3/₃ ⋅ ^√3/₁₅ + 10 ⋅ ^√1/₂ ⋅ ^√3/₁₅ - 10 ⋅ ^√3/₂ ⋅ ^√3/₁₅ N·m

Dopo aver rilevato che la somma algebrica di M_B ed M_C è zero, ricaviamo il seguente risultato finale: M_R0 = -1 N·m.