Il cavo di un ascensore si spezza

Il cavo di un ascensore si spezza

La conservazione dell’energia

Il cavo di un ascensore si spezza

La conservazione dell’energia

Il cavo di un ascensore di massa 2.000 kg si spezza quando l'ascensore è fermo al primo piano a distanza d = 4 m da una molla di attenuazione di costante elastica k = 1.500 N/m. Un dispositivo di sicurezza agisce sulle guide in modo da far loro sviluppare una forza d'attrito di 500 kg che si oppone al moto dell'ascensore.

1. Calcolare la velocità dell'ascensore prima che urti la molla.
2. Trovare di quale tratto s è compressa la molla.
3. Calcolare a quale distanza risale l'ascensore lungo la guida.
4. Applicando il principio di conservazione dell'energia calcolare la distanza complessiva percorsa dall'ascensore prima di fermarsi.

a) Velocità dell'ascensore prima dell'urto con la molla

L'ascensore fermo al primo piano ha energia cinetica K₀ nulla ed energia potenziale U₀ = mgd se è nulla l'energia potenziale gravitazionale nella posizione occupata dall'estremo libero della molla, quando è a riposo.

Subito prima che urti la molla l'ascensore ha energia potenziale U nulla, per quanto appena detto, ed energia cinetica K₁ = ¹/₂ mv₁² se v₁ è la velocità dell'ascensore.

Poiché durante il moto è presente la forza d'attrito F di intensità +500 · 9,8 N = +4.900 N_t che compie un lavoro L_f = -Fd, in quanto lo spostamento è diretto dalla parte opposta di F, nella conservazione dell'energia si dovrà tener conto di tale L_f, lavoro fatto dall'esterno sull'ascensore.

Si ha K₀ + U₀ + L_f = K + U, o anche mgd - Fd = ¹/₂ mv₁², da cui:

v₁ = √(²/₍_g-^F)/_m) · d = √(^{2/9,8 - 4900}/₍₂₀₀₀)₎ · 4 = √2 · (9,8 - 2,45) · 4 = √8,735 = 7,65^m/_sec

b) Tratto di compressione della molla

Al momento dell'urto l'ascensore ha energia cinetica K_o = ¹/₂mv₁² ed energia potenziale nulla.

Quando ha compresso la molla di un tratto S, ha energia cinetica nulla in quanto la velocità in tale punto è nulla. L'energia potenziale U, somma di un termine gravitazionale ed un termine dovuto alla compressione della molla, è U = -mgS + ¹/₂ K_eS².

Si ha poi il lavoro, sempre negativo, fatto dalla forza d'attrito sull'ascensore, di cui si deve tener conto nel bilancio energetico L_F = - F_S.

Per cui dalla K_o + V_o + L_F = K + U si ha: ¹/₂ mv₁² - FS = -mgS + ¹/₂ K_eS² da cui:

S^{2 2S}/_ke (mg-F) - m_v1² = 0 da cui: S = ^(mg-F)/_Ke ± √^{(F-mg)2 + mv2}/_Ke cioè S = ^{9,8 × 1500}/₁₅₀₀ ± √^{15002 × 9,82 + 2000 (7,6)2}/_{4500² + 1500} è il tratto di cui è compressa la molla.

S = 9,8 + √9,8² + 785 = 23 m

c) Distanza di risalita dell'ascensore lungo la guida

Quando l'ascensore ha compresso la molla del tratto s, ha energia cinetica K₀ nulla ed energia potenziale V₀ = -mgs + ¹/₂ ks².

Quando l'ascensore è risalito di un'altezza h rispetto al riferimento scelto ha energia cinetica K = 0, perché si ferma momentaneamente ed ha energia potenziale mgh = ¹/₂ kf².

Si ha poi durante il moto un lavoro eseguito dalla forza d'attrito: L_f = -F(S+h).

Ne deriva che il bilancio energetico si scrive: L_f + K₀ + V₀ = K + U cioè ¹/₂ Ks² - F(S+h) = mgh + ¹/₂ kR² da cui ¹/₂ kf² + h (mg - F) = ¹/₂ Ks² - s (F + mg) cioè 450. h² + 2.45. 10² h₁ + 6,7. 10³ = 0 o anche h² + 30,6 h + 222 = 0 da cui h = -15,3 ± √234-222 = -15,3 ± 3,5

Prendiamo solo il segno positivo perché l'ascensore oscilla intorno alla posizione d'equilibrio fino a fermarsi. La posizione di equilibrio si ricava dall'equilibrio delle forze che agiscono sull'ascensore nel momento in cui questo si ferma.

Sia W il tratto di cui è compressa la molla all'equilibrio. Si ha mg + F = kW = 0 da cui W = F + mg. ²⁵⁰⁰/_9,8 cioè W = 16,41 mk_eq ... 1500 ... .......