Grande emisfero verticale

Grande emisfero verticale

Dinamica dei moti rotatori

Una piccola sfera rotola senza strisciare nell'interno di un grande emisfero verticale e parte dalla cima da ferma.

• A) Qual è la sua energia cinetica sul fondo? Quale frazione di essa è dovuta alla traslazione? Quale alla rotazione?
• B) Quale forza normale all'appoggio esercita la sfera sul fondo? Assumere il raggio della sfera uguale a r, quello della semisfera uguale a R e la massa della sfera sia m.

Soluzione

A) Si ha conservazione dell'energia per cui: K₀ + V₀ = K + U.

Poiché la sfera parte da ferma e K₀ = 0; l'energia potenziale V₀ sia nulla nella posizione di partenza. Sul fondo dell'emisfero il centro di massa è sceso di (R-r) rispetto alla posizione iniziale. L'energia potenziale della sfera sul fondo dell'emisfero è: U = -mg(R-r).

Ne deriva che: 0 = K - mg(R-r). Da cui l'energia cinetica della sfera sul fondo è: K = mg(R-r). Se sul fondo il centro di massa ha velocità v, e la sfera ha velocità angolare W = v/r, l'energia cinetica è K = 1/2 mv² + 1/2 IW² = 1/2 mv² + 1/2 I v²/r² dove I è il momento d'inerzia della sfera: I = 2mr²/5 per cui: K = 1/2 mv² + 1/2 2mr²/5 · v²/r², cioè K = 1/2 mv² + mv²/5 = 7/10 mv².

La frazione f₁ di energia K dovuta alla

• K₁: Termine dovuto alla traslazione.
• K₂: Termine dovuto alla rotazione.