Grande emisfero verticale

Grande emisfero verticale

Dinamica dei moti rotatori

Grande emisfero verticale

Dinamica dei moti rotatori

Una piccola sfera rotola senza strisciare nell'interno di un grande emisfero verticale e parte dalla cima da ferma.a) Qual'è la sua energia cinetica sul fondo? Quale frazione di essa è dovuta alla traslazione? Quale alla rotazione?b) Quale forza normale all'appoggio esercita la sfera sul fondo? Assumere il raggio della sfera uguale a r, quello della semisfera uguale a R e la massa della sfera sia m.

a) Si ha conservazione dell'energia per cui: K₀+U₀=K+U

Poiché la sfera parte da ferma è K₀=0; l'energia potenziale U₀ sia nulla nella posizione di partenza. Sul

fondo dell'emisfero il centro di massa è sceso di (R-r)

rispetto alla posizione iniziale. L'energia potenziale

della sfera sul fondo dell'emisfero è: U=-mg(R-r)

Ne deriva che: 0=K-mg(R-r). Da cui l'energia cinetica della sfera sul fondo è:

K=mg(R-r). Se sul fondo il centro di massa ha velocità v, e la sfera ha velocità angolare ω= ^v⁄_r, l'energia cinetica è K=¹⁄₂ mv² + ¹⁄₂ I ω²= ¹⁄₂ mv² + ¹⁄₂ I ^v⁄_r ² dove

I è il momento d'inerzia della sfera: I= ²⁄₅ mr² per cui: K= ¹⁄₂ mv² + ¹⁄₂ ²⁄₅ mr² ^v²⁄_r²

cioè K=¹⁄₂ mv² + ^mv²⁄₅ = ⁷⁄₁₀ mv² da frazione f₁ di energia K dovuta alla

K₁ termine

dovuto alla

traslazione

K₂ termine

dovuto alla

rotazione