Grafico probabile: dominio, segno, zeri, intersezioni, limiti, esercizi svolti

Analisi matematica grafico probabile di una funzione

1 gennaio 2021 Analisi Matematica

Punti da svolgere per tracciare il grafico probabile

• Dominio
• Simmetrie, pari o dispari
• Intersezione con gli assi
• Studio del segno
• Limiti agli estremi del dominio per la ricerca degli asintoti
• Grafico

La funzione è razionale fratta. Il dominio è l’insieme dei valori che non annullano il denominatore.

Dominio

9 0 → 3∞; 3 ∪ 3; 3 ∪ 3; ∞ →

Il dominio D è simmetrico rispetto all’origine la funzione è dispari, verifichiamo !!

3 ∧ 3 sono punti di discontinuità, in essi la funzione non è definita.

Simmetrie

2 2 → è

9 9

Il grafico risulta quindi simmetrico rispetto all’origine.

Intersezioni con gli assi

2 2 0 0

$∩ : →% →% → & 0; 0# 9 $ 0 $ 0! $ 0

2 0

$ $ 0∩ : →# → & 0; 0# 9 9' 0 0

La funzione interseca gli assi solo nell’origine.

Studio del segno

+0!! )*( 2 +0 +0 →,, 9+0 - 3∨ +3

$+0 / 3; 0 ∪ 3; ∞

$-0 / ∞; 3 ∪ 0; 3 1

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Limiti

~!! )* !(

Per la simmetria di e per l’ordine di infinito:

2 2 2 2

lim lim 6 7 lim 6 7 0 lim lim 6 7 lim 6 7 0

) 89 9!→)4 5→)4 !→)4 !→84 5→84 !→∓

$ 0

L’asse delle ascisse è asintoto orizzontale per la funzione.

3:

Non cerchiamo asintoto obliquo in presenza di asintoto orizzontale.

2 6 2 6

Situazione analoga per i punti lim lim 6 7 ∞ lim lim 6 7 ∞

9 0 9 0

) 8!→): 5→): !→): 5→):; ; = =

2 6 2 6

lim lim 6 7 ∞ lim lim 6 7 ∞

9 0 9 0

) 8!→: 5→: !→: 5→:; ; = =

3 3 sono asintoti verticali.

Grafico

2

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Le funzioni che presentano un valore assoluto

Per studiare le funzioni che presentano nella propria espressione analitica un valore assoluto si può procedere riscrivendo la funzione come due funzioni distinte, definite su diversi intervalli a seconda del segno dell’argomento del modulo, il grafico finale è dato dall’unione dei grafici ottenuti separatamente.

Alcune proprietà della funzione però possono essere dedotte anche dall’espressione compatta, pertanto si possono considerare le due formulazioni a seconda di quale delle due sia più comoda.

Osserviamo che il modulo si può riscrivere nella forma che segue:

1 , 0- -1

| | % 1 , -0∨ +1

Quindi possiamo esprimere la funzione sotto forma di funzione definita per casi:

, 0- -1

1$ A , -0∨ +11

Dominio

La funzione è razionale fratta. Il Dominio è costituito dai valori reali che danno significato al denominatore.

Per entrambi i rami che definiscono la funzione le condizioni da imporre riguardano il denominatore:

0∧ 1 ∞; 0 ∪ 0; 1 ∪ 1; ∞1

La funzione può essere così riscritta:

, 0- -1

1A 1 , -0∨ +11

Simmetrie

In questo caso possiamo utilizzare la formulazione compatta.

→)! !|)!)! | |)!)! |( (  la funzione non è pari

→!|!)! |(  la funzione non è dispari 3

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Intersezioni con gli assi

$∩ : →∅# | |' 0

Ricordiamo che lo zero non appartiene al dominio quindi l’intersezione è vuota.

$ | |: →∅∩ #! $ 0

La funzione non interseca neppure l’asse delle ascisse.

Studio del segno

Per lo studio del segno, essendo il modulo sempre positivo, il segno dipende solo dal numeratore, quindi +0 usando la forma compatta:

C+0+0 →% → %| | + 0 ∀ ∈ FG|| +0

Quindi:

+0 ∈ ∞; 0

-0 ∈ 0; ∞ ∧ 1

Mettiamo nel piano cartesiano dominio e segno.

Limiti

1

Ora è più comodo usare la forma definita per casi:

, 0- -1

1A 1 , -0∨ +111

1lim 0 )∞

1!→)4 1 1

La funzione tende a zero per valori negativi.

lim 0 81 ∞

!→84

La funzione tende a zero per valori positivi 4

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$ 0 è asintoto orizzontale per la funzione.

Non cerchiamo asintoto obliquo in presenza di asintoto orizzontale.

1 1

lim = = −1− 1 −1

!→H ; 1 1

lim = =11 − 1

!→H =

I limiti destro e sinistro sono finiti ma diversi.

= 0 è un punto di discontinuità di prima specie. Il grafico della funzione presenta un salto.

1 1

lim = = +∞

1 − 0 8

!→I; 1 1

= = +∞

lim −1 0 8

!→I=

I limiti destro e sinistro sono punti di infinito.

= 1 è asintoto verticale per la funzione.

Grafico

5

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