Geometria e Algebra - Esercizi vari

ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA

(Settembre 2008)

Cognome e Nome: ...................... Matr. e anno di iscr. ...................... Firma ......................

1. Siano assegnati i seguenti sottospazi dello spazio vettoriale ℝ⁴:

   U = L{(1,0,1,-1), (0,1,1,0)}

   V = {x + y + 4z = 0

   W = {2x – y + t = 0

   {x – 5y -3z – 4t = 0

   1. Determinare una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: W, U ∩ W e U + W
   2. Determinare due sottospazi distinti, V₁ e V₂, tali che ℝ⁴ = U ⊕ V₁ = U ⊕ V₂.

2. Sia F l'endomorfismo di ℝ⁴ dato da:

   F(x,y,z,t) = (3x + y + z – t, x – 2y + z + t, y + z + t, y + t)

   1. Provare che lo scalare k=3 è un autovalore, determinare la sua molteplicità algebrica e una base dell'autospazio ad esso relativo.
   2. Dire se l'endomorfismo F è invertibile (giustificare la risposta).

3. Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, S, considerino i piani

   α: x + y - z = 1, β: j + x + z = 1

   γ_h: x – t + hy – 0, per ogni h ∈ ℝ.

   1. Dire per quali valori di h ∈ ℝ, il piano γ_h è ortogonale sia ad α che a β.
   2. Dire per quali valori di h ∈ ℝ, il piano γ_h appartiene al fascio di asse la retta r = α ∩ β.
   3. Rappresentare parametricamente la retta passante per l'origine e parallela sia ad α che a β.
   4. Rappresentare il piano passante per l'origine e ortogonale sia ad α che a β.

• Definizione di base e di componenti di un vettore in una base ordinata.
• Provare che la chiusura lineare di un sistema di vettori di V(K) è un sottospazio vettoriale di V(K).
• Definire il polinomio caratteristico di un endomorfismo e provare che esso non dipende dalla scelta dell'identità.
• Determinare il coordinante cartesiane di un punto in un riferimento e di numeri direttori di una retta.