Geometria e Algebra - Esercizi vari

Esame di geometria e algebra (settembre 2008)

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1. Sottospazi dello spazio vettoriale R⁴

Siano assegnati i seguenti sottospazi dello spazio vettoriale R⁴:

U = L((0,1,-1,0),(1,1,0,-1))

W = { x + y + z + 2t = 0 2x - y + t = 0 x - 5y - 3z - 4t = 0 }

• Determinare una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: W, U intersect W e U + W
• Determinare due sottospazi distinti, V₁ e V₂, tali che R⁴ = U direct sum V₁ = U direct sum V₂.

3. Endomorfismo di R⁴

Sia F l'endomorfismo di R⁴ dato da:

F(x, y, z, t) = (3x + y + 2z - t, 2y + z + t, y + z, y + t).

• Provare che lo scalare k = 3 è un autovalore, determinare la sua molteplicità algebrica e una base dell'autospazio ad esso relativo.
• Dire se l'endomorfismo F è invertibile (giustificare la risposta).

4. Piani nello spazio

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino i piani alpha : x + y - z = 1, beta : y + z = 1 e gamma_h : x + hy - 2z = 0, per ogni h in R.

• Dire per quali valori di h in R, il piano gamma_h è ortogonale sia ad alpha che a beta.
• Dire per quali valori di h in R, il piano gamma_h appartiene al fascio di asse la retta r = alpha cap beta.
• Rappresentare parametricamente la retta passante per l'origine e parallela sia ad alpha che a beta.
• Rappresentare il piano passante per l'origine e ortogonale sia ad alpha che a beta.

Definizioni e dimostrazioni

Definizione di base e di componenti di un vettore in una base ordinata.

Provare che la chiusura lineare di un sistema di vettori di V(K) è un sottospazio vettoriale di V(K)

Definire il polinomio caratteristico di un endomorfismo e provare che esso non dipende dalla scelta del riferimento.

Definizioni di coordinate cartesiane di un punto in un riferimento e di numeri direttori di una retta.