Algebra e geometria - Esercizi

Appunti del 30/01/18

30/01/18esr:{ y-1=0 { x-z+2=0 a:{ x-y=0 { z-2=0 { x²+y²-z²+z+f=x+y-z-y+f+z-1=0(Da fare)kx y zARaEsercizio: Interpretare geometricamente in E₃(ℝ) la risolubilitā di: A_k X = B_k conA_k = ^{( 2 1 k )} _{( 0 )}^{( 1 k+1 0 )} , B_k = _{( 3k+1 )}, k ∈ ℝ^{( -1 1 k )} _{( 3 )}Interpretando le 3 equazioni come equazioni cartesiane di 3 piani [ ]

• 1) Se k_?≠ -1, 0 ∃! soluzione 8(A) = 3 = 8(A|B)
• 2) Se k_? = -1 8(A) = 2 8(A|B) = 3 ∄ soluz.
• 3) Se k=0 8(A)= 8(A|B) = 2 ∞¹ soluz.
• 4) X n β n y = ȹ p ȹ

Esercizio sulla risolubilità in E₃(ℝ)

30/01/18r:y - 1 = 0x - 2 = 0z + zt = 3/2ta:x - y = 0z - 2 = 0(Da fare)

Esercizio:Interpretare geometricamente in E₃(ℝ) la risolubilità di: A_kX = B_kconA_k =   ²  1  k 1  k + 1  0-1  1  k B_k =   03k + 13k ∈ ℝInterpretando le 3 equazioni come equazioni cartesiane di 3 piani

• 1) Se k_x ≠ -1, 0∃! soluzioneℚ(A) = 3 = ℚ(A|B)
• 2) Se k_x = -1ℚ(A) = 2ℚ(A|B) = 3    7 soluzione
• 3) Se k = 0ℚ(A) = ℚ(A|B) = 2∞¹ soluz.
• 4) π ∩ β ∩ γ = {Pβ}

Piani paralleli e intersezione

2)3 paralleli:2 paralleli:7 piani paralleli: 2x + y - z = 0 ← α x - z ← β-x + y - z = 3 ← γα ∥ β, α' ∥ β' ↔ [(a, b, c)] = t(a', b', c')]→ non ci sono coppie di piani Paralleliα, β, γ sono piani di una stella impropria di piani∞ punti di intersezione

3)α, β, γ appartengono a un fascio proprio di piani:

Studio della mutua posizione

E.s.: (T.E. 2008) Studiare la mutua posizione di:v: {(k-1)x + y = 1(k-z)y + kz = 0(k-z)z = 3 } k ∈ ℝ(a,b,c) ≠ (0,0,0) ⟹ sek = 2 ⇒ (a,b,c) = (0,0,0)S = 2O = 31 0 | 0k-2 k | kse k ≠ 0   S = 2 ✓se k = 0(-1 1 90 0 0-0 -2 0)  S = 2 ✓se k ≠ 1, 2

Compatibilità del sistema

Studiamo la compatibilità di:{(k-1)x + y = 1(k-2)y + kz = 0(k-2)z = 3 }{...}se k, f ≠ 4, 2S(A) = S(A|B) = 3   ∃! soluz.se k = 1S(A) = 2   S(A|B) = 3 ∄ soluz.se k = 2S(A) = 2   S(A|B) = 3 ∄ soluz.⇒ Il piano non esister e x incidentiv // x disgiunt.r ⊂ α   n ∞ soluz.

Esempio del 2^o test 2016

Es. (2^o test 2016)  In  ℤ_¥(¥²)  si determin: , al variare di k ∞ ℝ , la mutua posizione:r_k:  x + k y = ks: x - y = -1t_k:  k x + (k - 1) y = 1(a, b) ≠ (0, 0) ✓⎡ t ⎤     ⎡   ⎤{ x + Ky = K      1 K           K{ x - y = -1     A_K= 1 -1 Presso B_K = -1 {K x + (k - 1) y-1 K -1 k ≤ 1 2 

• Se k ≠ 2 -1  &ThereExists; soluz  ⊕(A|B) ≠0⊕(B(A|B)=3⪢⊕(A)
• Se k=2 ⊕(A) = System(B(A|B)=2  ∃3/\
• Se k=-1 ⊕(A)= System(B(A|B)=2 ∃soluz

1            r_k      p    t_k

2)→Le 3 rette appartengono a un fascio proprio3                                      v : x - y = -1s : x - y = -1tf: x - x - 2y 2 ← 1 v // v ' [(a,b)],[(a',b')] v_k, s| 1 k || -1 -1 | = -1 - k = 0 <=> k = -1 => v // s <=> k = -1            v_k ed s non sono mai paralleles, t_k| -1 -1 || -1 k - 1 | = k - 1 + k = 2k - 1 = 0 <=> k = 1/2 => s // t_k