Geometria e Algebra - Esercizi vari

Esercizi di algebra lineare e geometria

1. Siano U e W i sottospazi di R⁴ così definiti: U = L((0,-2,2,1),(1,0,2,0)), W = L((0,-1,1,0),(2,1,3,-2)). Dire per quali valori di λ ∈ R, il vettore v = (1,2,0,λ) appartiene il sottospazio U ∩ W. v ∈ U ∩ W ↔ λ

2. Si consideri la seguente base ordinata di R⁴: B = ((0,1,1),(0,1,-1),(1,1,1)).

1. Determinare le componenti del vettore v = (1,1,1) nella base B.

1. Determinare il vettore avente in B componenti (0,1,-1).

3. Sia F_h l'endomorfismo di R³ tale che F_h(x,y,z) = (-x - 2y + hz, y, y - z), con h ∈ R.

1. Determinare un valore di h per cui l'endomorfismo F_h non è diagonalizzabile. (Motivare brevemente la risposta)

1. Determinare un valore di h per cui l'endomorfismo F_h è diagonalizzabile. (Motivare brevemente la risposta)

4. Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si consideri la retta r passante per i punti A(0,2,1), B(1,1,0), il piano α: x+y+z=0, e il punto P(1,1,1).

1. Rappresentare il piano contenente la retta r ed il punto P.

1. Rappresentare una retta passante per P, complanare con la retta r e parallela al piano α.

1. Rappresentare un piano passante per P, parallelo alla retta r e perpendicolare al piano α.

1. Rappresentare una retta del piano α passante per l'origine ed ortogonale alla retta r.