Funzioni e loro proprietà, dominio e immagine

Matematica

Funzioni e loro proprietà

Funzione irrazionale ad esponente pari

Radice quadrata di 2. Pongo il radicando maggiore o uguale a zero: 0 ≤ x < ∞; x ≥ 2. Per intervalli:

Immagine di f(x)

L'immagine è un sottoinsieme del codominio. L’immagine è l’insieme delle y. Determiniamo l’immagine di alcuni valori della funzione data:

• √2x: y ≥ 0
• √2x = 1: y ≥ 1
• √2x = 0: y ≥ 0

Non posso estrarre la radice pari di un numero negativo. I valori dell’immagine di f(x) sono quei valori di y per i quali la x è definita e appartiene al dominio D, cioè:

Esprimiamo allora x in funzione di y, elevando al quadrato per togliere la radice: x ≥ 0.

Imponiamo che appartenga al dominio: x > 2 → 0 ≤ x < ∞. Scrittura per intervalli:

Funzione razionale intera

f(x) è un polinomio di secondo grado (una parabola in questo caso)

Dominio: D = R. Il dominio è tutto R, al posto di x posso mettere tutti i valori che voglio.

Immagine

Esprimiamo allora x in funzione di y. Questa volta usiamo il metodo del completamento del quadrato del binomio:

Aggiungo e sottraggo 1 al secondo membro, separo i tre termini del quadrato di binomio. La y è nel radicando, impongo che sia positivo: y ≥ 1.

Ho ottenuto l’immagine della funzione: 1 ≤ y < ∞. Scrittura per intervalli:

Funzione razionale fratta

Devo porre il denominatore diverso da zero: x ≠ 0, ∞ ≤ x < ∞; 0 ∪ 0; < ∞. Il dominio è tutto R tranne lo zero.

Immagine

Esprimiamo allora x in funzione di y: imponiamo che il denominatore non si annulli: 1 ≤ y < ∞.

Ho ottenuto l’immagine della funzione: ∞ ≤ y < 1 ∪ 1; < ∞. Scrittura per intervalli:

Funzione trascendente logaritmica

Devo porre maggiore di zero il suo argomento: ln 2. ∞ ≤ x < 2. Il dominio è l’insieme dei numeri reali minori di 2.

Immagine

Esprimiamo x in funzione di y, passando alla funzione esponenziale in base e: ora la condizione su x, per appartenere al dominio:

Risolviamo: ∀ x ∈ R. Funzione: