Fisica 1 - Esercizio 10

Esercizio 10

Al bordo di un disco omogeneo di centro raggio e massa è saldato un punto materiale di massa, . Il disco poggia su di un piano orizzontale. Al centro del disco è attaccata, mediante un perno, una molla ideale di costante elastica. Nell’ipotesi in cui il disco rotoli senza strisciare e ammettendo che esso parta da fermo. Nella configurazione in cui la molla è a riposo e la congiungente forma un angolo con la ( ⁄− ) = 6 direzione verticale, determinare:

• I. L’equazione di moto del sistema;
• II. L’accelerazione angolare iniziale del disco;
• III. Il coefficiente d’attrito minimo che garantisce inizialmente il rotolamento puro;
• IV. La velocità del centro del disco quando e il minimo valore del rapporto affinché possa ⁄ ≡ esser raggiunta tale configurazione.

Energia meccanica del sistema

� ̅ � Si scriva in funzione dell’angolo l’energia meccanica del sistema:

θ1 π 22 V(θ) = kR �θ − � + mgR(1 + cos θ)2 6

1 1 1 1 1 θ̇� θ̇ θ̇ θ̇���� ����2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T�θ; = I = � MR + MGC + mPC � = � MR + MR + m(R + R + 2R cos θ)�C2 2 2 2 2

1 3 θ̇� θ̇2 2 T�θ; = � M + 2m(1 + cos θ)� R2 2

Cambio di variabile

Si ponga il cambio di variabile:

π πα = θ− → θ = α +6 6

Derivando nel tempo:

θ̇ = α̇ 1 π 1 1√32 2 2 2 V(α) = kR α + mgR �1 + cos �α + �� = kR α + mgR �1 + cos α − sin α�2 6 2 2 2

1 3 1√3 2 2)T(α; α̇ = � M + 2m �1 + cos α − sin α�� R α̇2 2 2 2

Energia meccanica in funzione di α

L’energia meccanica del sistema si scrive quindi come:

)E(α; α̇

1 1 1 3 1√3 √32 2 2 2)E(α; α̇ = kR α + mgR �1 + cos α − sin α� + � M + 2m �1 + cos α − sin α�� R α̇2 2 2 2 2 2 2