Fisica 1 - Esercizio 1

Esercizio 1

Un disco omogeneo di massa e raggio si trova inizialmente in quiete su di un piano orizzontale liscio. Il disco viene colpito da due punti materiali di massa m e velocità v diretta come in figura. Sapendo che i due corpi rimangono conficcati nel disco, determinare:

• La velocità del centro di massa del sistema immediatamente dopo l’urto;
• La velocità angolare dopo l’urto;
• Il modulo della velocità del punto di massa quando il disco ha compiuto un quarto di giro;
• Il moto del sistema nel caso particolare in cui m₁ = m₂ = 40.

Durante l’urto non si hanno forze di natura impulsiva e si conserva sia la quantità di moto totale, sia il momento angolare totale valutato rispetto al centro di massa del sistema.

Conservazione della quantità di moto

La conservazione della quantità di moto totale implica che:

P_tot = mv₁ + mv₂ = (m₁ + m₂ + M)V_G

Poiché i due punti materiali impattanti hanno velocità diretta orizzontalmente, ossia v₁ = v₂, l’equazione vettoriale si riduce ad un banale bilancio scalare, quello corrispondente alla conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale:

(m₁v₁ + m₂v₂) = (m₁ + m₂ + M)V_G

Da cui si ricava:

V_G = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂ + M) ≈ 4,12 m/s

Determinazione del centro di massa

Poiché i due punti materiali si conficcano in corrispondenza degli estremi opposti del diametro verticale, per questioni di simmetria il centro di massa sarà situato lungo la verticale stessa. Assumendo come origine del riferimento il centro del disco, si ricava che:

d = (m₁R - m₂R) / (m₁ + m₂ + M)

Si osservi che il contributo del disco non compare poiché il suo centro di massa è collocato in corrispondenza dell’origine del suddetto riferimento. Si noti inoltre che quando il centro di massa globale si trova in corrispondenza del centro di massa del disco, ovvero d = 0.

Sostituendo i dati, si determina:

d ≈ 0,012 m