Fisica 1 - Esercizio 5

Esercizio sulla dinamica di una sfera

Una sfera omogenea di massa e raggio rotola senza strisciare con velocità di avanzamento su di un piano orizzontale. Ad un certo istante urta uno scalino di altezza. L’urto è tale che il punto di contatto non slitta e non si stacca mentre la sfera si solleva dal suolo. Determinare la minima velocità che consente alla sfera di salire il gradino.

Conservazione del momento angolare

Durante l’urto con lo scalino, di natura anelastica, si conserva il momento angolare rispetto al punto di contatto, istantaneamente fermo. La forza di gravità, non essendo impulsiva, esercita un momento rispetto al suddetto polo di entità trascurabile: si ricordi infatti che un urto avviene in un tempo infinitesimo e, in tale intervallo temporale, la gravitazione produce un effetto del tutto trascurabile.

Teorema di König

Si applichi il teorema di König per valutare il momento angolare prima e dopo l’urto:

K_O = (G_K = K_G + − O) × PO_G

Per un corpo rigido, ricorrendo al tensore di inerzia valutato in un riferimento centrato nel centro di massa G, il teorema di König assume la forma:

K_O = I_Gω + − O × PO_G

Poiché è uscente dal piano in cui sta avvenendo il moto, l’espressione si semplifica ulteriormente introducendo il momento di inerzia valutato rispetto ad un asse passante per il centro di massa e ortogonale al suddetto piano.

Prima dell'urto

Prima dell’urto la velocità è ancora parallela al piano, pertanto:

K_Oi = − mR²ωu_z − Mv_i − hu_z = − mRv_iu_z − mv_i − hu_z = − 7/5 R² − h² mv_iu_z

Dopo l'urto

Dopo l’urto, essendo il centro di istantanea rotazione, la velocità cambia repentinamente e diviene ortogonale alla congiungente pertanto:

K_Of = − mR²ωu_z − mv_fRu_z = − mRv_fu_z − mv_fRu_z = − mRv_fu_z

Conclusione

Poiché il momento angolare è conservato:

K_Oi = K_Of

7/5 R² − h² v_i = Rv_f

Di conseguenza, risolvendo l'equazione, si può determinare la velocità minima necessaria affinché la sfera possa salire il gradino.