Figure piane nello spazio xyz equazione della sfera circoscritta al tetraedro

Complementi di matematica

Geometria analitica nello spazio Esercizi svolti Equazione parametrica della retta Figure piane nello spazio Sfera circoscritta al triangolo Complementi di matematica Geometria analitica nello spazio Esercizi svolti Equazione parametrica della retta Figure piane nello spazio Sfera circoscritta al triangolo

Problema completo

Un drone si muove, secondo i comandi che gli vengono inviati, in uno spazio cartesiano tridimensionale con l’origine sul suolo. Se il drone parte dal punto A(1; 0; 4), determina le coordinate del punto in cui si trova dopo aver percorso una distanza di 26 m in direzione v (3; 12; 4).

Il drone si muove lungo la retta di equazioni parametriche:

x = 1 + 3t

y = 12t, con t ∈ ℜ.

z = 4 + 4t

Il drone, dopo aver percorso 26 m in direzione v, si trova nel punto B(1 + 3t; 12t; 4 + 4t), con t > 0.

Poniamo AB = 26:

√9t² + 144t² + 16t² = 26 → 13t = 26 → t = 2.

Il punto di arrivo è B(7; 24; 12).

Problema completo

Dati i punti O(0; 0; 0), A(0; 6; 0), B(0; 3; 3), C(2√6; 3; √3):

• Verifica che sono i vertici di un tetraedro regolare;
• Scrivi le equazioni della retta a cui appartiene lo spigolo AC sotto forma di intersezione di due piani;
• Determina l’equazione della superficie sferica circoscritta.

a. Verifichiamo che gli spigoli sono tutti congruenti e formano dunque quattro triangoli equilateri. Osserviamo infatti nella figura che i punti sono a 3 a 3 non allineati, quindi formano certamente un tetraedro.

• OA = 6
• OB = √9 + 27 = 6
• OC = √24 + 9 + 3 = 6
• AB = √9 + 27 = 6
• AC = √24 + 9 + 3 = 6
• BC = √24 + 12 = 6

b. Scriviamo le equazioni parametriche della retta per AC.

AC(2√6; −3; √3)

x = 2√6 k

y = 6 − 3k

z = √3 k