Esercizio Integrale doppio - cambio di variabile

Cambiamento di coordinate

Calcolo dell'integrale

Calcolare l'integrale (se esiste):

1. La regione D è delimitata dai rami di parabola definiti dalle equazioni y = x², y = 2x², x = y² e x = 2y²

D può essere riscritto nel seguente modo:

La forma di D suggerisce il cambio di coordinate u = y/x² v = x/y²

Per esplicitare l'applicazione Φ che descrive il cambio di coordinate bisogna ricavare x e y in funzione di u e v.

Calcolo dell'integrale esplicito

Calcolare l'integrale (se esiste):

∬_D e^y/x2 / x²y² dxdydove D = {(x,y) ∈ ℝ² / x² ≤ y ≤ 2x², y² ≤ x ≤ 2y²}

La regione D è delimitata dai rami di parabola definiti dalle equazioni y = x², y = 2x², x = y², x = 2y²

D può essere riscritto nel seguente modo: {(x,y) ∈ ℝ² / 1 ≤ y/x² ≤ 2, 1 ≤ x/y² ≤ 2}

La forma di D suggerisce il cambio di coordinate:

• u = y/x²
• v = x/y²

Per esplicitare l'applicazione φ che descrive il cambio di coordinate bisogna ricavare x e y in funzione di u e v:

• u = y/x² → y = ux²
• v = x/y² → x = v√y²

X = √vy² → x = √vy²

y = ux²y⁴ - y = 0

u√vy²y³ - 1 = 0

X = √vy² → x = √vy²

y³x² = 1

{y = 0} → {y = (\frac{t}{uv^{2}})^{\frac{1}{3}}}

X = t^3/7(1+\frac{1}{mu^{2}})^{\frac{2}{7}}

= (\frac{1}{3u^{1/2}v^{1/2}})

A questo punto posso scrivere φ:

φ: S ⊂ ℝ² → ℝ² / φ(u,v) = \left( \frac {1}{3 u^{3/2}v^{1/3}}, \frac{1}{3 v^{1/2}u^{1/3}}\right)

dove S = {(u,v) ∈ ℝ² / 1 ≤ u ≤ 2 e 1 ≤ v ≤ 2}

Osservazioni

1. S è un dominio normale rispetto a u (e a v); φ(S) = D
2. φ ∈ C¹(S) perché le sue componenti sono C¹ su S

Calcolo del Jacobiano della trasformazione

• ∂x/∂u = 2(μ^3/3 v^3/3-1) = - \frac {2}{3} \ \mu^{3/3-1} v^3/3 = -\frac {2}{3} \ \mu^{-5/3} \ v^1/3 = \frac {2}{3\ v^1/2 \mu^1/2 }
• ∂x/∂v = 2(μ^2/3 v^3/3)
• ∂y/∂u = 2(μ³ v^-2/3)=-\frac{1}{3}\ \mu^{-3} v^-3 = -\frac{1}{3}\ \mu^{-4/3} v^-2/3
• ∂y/∂v = - \frac{3}{3} u^7/3 v^1/2-3= -\frac{2 \mu^{-5}}{3 v^-4/3}

Quindi:

det(∂x/∂u>, ∂x/∂v>) = det(∂x²/∂u>, ∂x²/∂v>))