Esercizi svolti di probabilità

Esercizio 1

Il codice PIN di una scheda telefonica è composto da 4 cifre, ciascuna delle quali può assumere un numero compreso tra 0 e 9. Determinare I) il numero dei possibili codici, II) il numero dei possibili codici che iniziano con 0.

Esercizio 2

Ad un torneo partecipano 20 giocatori. Ciascun giocatore deve affrontare, uno per volta, tutti gli altri partecipanti. I) Calcolare il numero di partite da disputare, considerando solamente la fase di andata.

Esercizio 3

Il codice PIN di una carta bancomat è "22488". Considerando le stesse cifre di tale PIN, si calcoli il numero di codici che si possono formare:

• A) Se le ultime due cifre devono essere pari a "24",
• B) Se non si pone alcun vincolo.

Esercizio 4

Un'azienda di import-export è costituita da 4 settori (A, B, C, D) e da 10 responsabili al marketing. In particolare, per il settore A e per il settore B sono disponibili 2 responsabili al marketing, mentre per gli altri settori sono disponibili 3 responsabili al marketing.

Se il presidente dell'azienda decide di istituire una commissione di 4 responsabili al marketing, si determini il numero di commissioni differenti che possono essere istituite se i responsabili vengono scelti in sequenza e senza reimmissione.

Esercizio 5

Il direttore del personale intende selezionare, 5 impiegati nell'ambito di uno staff costituito da 14 dipendenti, di cui 6 dell’URP e 8 dell’Ufficio Stipendi. Si determini il numero di raggruppamenti di 5 impiegati che è possibile realizzare.

Esercizio 6

Il dirigente di associazione culturale intende selezionare, 5 associati nell’ambito di una lista di 20 iscritti all’associazione da più di 5 anni, di cui 11 sociologi e 9 psicologi. Si determini il numero di raggruppamenti che è possibile realizzare.

Esercizio 1

Il codice PIN di una scheda telefonica è composto da 4 cifre, ciascuna delle quali può assumere un numero compreso tra 0 e 9. Determinare I) il numero dei possibili codici, II) il numero dei possibili codici che iniziano con 0.

Esercizio 2

Ad un torneo partecipano 20 giocatori. Ciascun giocatore deve affrontare, uno per volta, tutti gli altri partecipanti. I) Calcolare il numero di partite da disputare, considerando solamente la fase di andata.

Esercizio 3

Il codice PIN di una carta bancomat è “22488”. Considerando le stesse cifre di tale PIN, si calcoli il numero di codici che si possono formare:

• A) Se le ultime due cifre devono essere pari a “24”
• B) Se non si pone alcun vincolo.

Esercizio 4

Un’azienda di import-export è costituita da 4 settori (A, B, C, D) e da 10 responsabili al marketing. In particolare, per il settore A e per il settore B sono disponibili 2 responsabili al marketing, mentre per gli altri settori sono disponibili 3 responsabili al marketing. Se il presidente dell’azienda decide di istituire una commissione di 4 responsabili al marketing, si determini il numero di commissioni differenti che possono essere istituite se i responsabili vengono scelti in sequenza e senza reimmissione.

Esercizio 5

Il direttore del personale intende selezionare, 5 impiegati nell’ambito di uno staff costituito da 14 dipendenti, di cui 6 dell’URP e 8 dell’Ufficio Stipendi. Si determini il numero di raggruppamenti di 5 impiegati che è possibile realizzare.

Esercizio 6

Il dirigente di associazione culturale intende selezionare, 5 associati nell’ambito di una lista di 20 iscritti all’associazione da più di 5 anni, di cui 11 sociologi e 9 psicologi. Si determini il numero di raggruppamenti che è possibile realizzare.

N. 3

P = "22188" 2 4 8

• Monem vincolo aline disponibili 5!/3! = 120/6 = 20

3 uguali tra loro

• Se ultime cifre sono 24 "28824" 3!/2! = 3 . 2 . 1 = 32 . 1

• 238828882

Esercizio N. 1

Assegnate due variabili aleatorie X ed Y, discrete ed indipendenti, con E(X)=-1,95 ed E(X²)=7,6

• A) Si completi la seguente distribuzione di probabilità di X:

• B) Si completi la seguente distribuzione di probabilità di Y:

• C) Si formalizzi E(X²) e si fornisca il valore
• D) Si formalizzi E(Y) e si fornisca il valore
• E) Si formalizzi E(-0,5X-Y) e si fornisca il valore
• F) Si formalizzi Var(-1,5X+Y) e si fornisca il valore

Esercizio N. 2

Si consideri l’esperimento casuale “lancio di una moneta truccata”.

Supponendo di ripetere l’esperimento 2 volte, e che la probabilità che si presenti Testa sia pari a 1/4,

• A) Si determini la distribuzione di probabilità della v.a. discreta X = “numero di volte in cui si presenta Croce”.
• B) Si formalizzi il calcolo di E(X) e se ne fornisca il valore
• C) Si formalizzi il calcolo di E(X²) e se ne fornisca il valore
• D) Si formalizzi il calcolo di F(X) e se ne fornisca il valore
• E) Si formalizzi il calcolo di Var(4X-2) e se ne fornisca il valore

Esercizio N. 3

Assegnate una v.a. X discreta che può assumere i valori appartenenti all’insieme A = {0, 4, 8},

• A) Si determini il valore del parametro k della funzione g(x) = k(0,5x+2), con x ∈ A, in maniera tale che g(·) sia la funzione di probabilità della variabile aleatoria X.
• B) Si formalizzi E(X+3) e se ne fornisca il valore
• C) Si formalizzi E(X²) e se ne fornisca il valore
• D) Si formalizzi F(X) e se ne fornisca il valore
• E) Si formalizzi Var(-2X) e se ne fornisca il valore

N. 21

Nº di volte che può uscire CROCE

P(TT) = 0,25 * 0,25 = 0,0625

P(TC) + P(CT) = (0,25 * 0,75) + (0,75 * 0,25) = 0,375

P(CC) = 0,75 * 0,75 = 0,5625

E(x) = 1 * 0,375 + 2 * 0,5625 = 1,5

E(x²) = 1² * 0,375 + 2² * 0,5625 = 2,625

F(z) = ∑ x ≤ 2 = 1,5

Var(4x-2) = 4²Var(x) = 16 * 4,875 = 78

Var(X) = E(x²) - [E(x)]² = 2,625 + 2,25 = 4,875

N. 3

E(x) = ∑ x_i p(x_i) = 4(0,33) + 8(0,5) = 5,32

E(x²) = ∑ x_i² p(x_i) = 16(0,17) + 64(0,5) = 37,28

F(x_u) = ∑ x ≤ 4 ⟹ 0,17(0,27) + 4(0,27) = 1,322

k + 4k + 6k = 112k = 1

k = 1/12 = 0,83

Var (-2x) = -2² Var(x) = 4(8,98) = 35,91

Var(X) = E(x²) - [E(x)]² = 37,28 - 28,30 = 8,98

Esercizio N. 1

Il dirigente di associazione culturale intende selezionare, casualmente e in blocco, 5 associati nell'ambito di una lista di 20 iscritti all'associazione da più di 5 anni, di cui 11 sociologi e 9 psicologi.

• Si determini il numero di raggruppamenti che è possibile realizzare.
• Si calcoli la probabilità che nella selezione siano presenti almeno 4 psicologi.

Esercizio N. 2

In una struttura ospedaliera, al fine di somministrare uno specifico test, vengono selezionati, casualmente ed in blocco, 4 pazienti dall'elenco dei 15 ricoverati nel reparto di pneumologia, di cui 10 fumatori e 5 non fumatori. Si calcoli la probabilità che:

• Nella selezione vi sia al massimo 1 fumatore;
• Vengano selezionati soltanto fumatori.

Esercizio N. 3

Una scatola di costruzioni per bambini contiene 12 pezzi, di cui 3 azzurri ed i restanti rossi. Supponendo che un bambino estragga casualmente e congiuntamente 4 pezzi dalla scatola,

• Si determini la probabilità che 2 pezzi siano rossi,
• Si determini la probabilità che tutti i pezzi estratti siano azzurri.

N. 2

15 microsocli

10 fum

5 non fum

Estrazione 4 recessori

• MAX 1 fumatore: ⁽¹⁰⁾C₁ ⁽⁵⁾C₃ / ⁽¹⁵⁾C₄ + ⁽¹⁰⁾C₀ ⁽⁵⁾C₄ / ⁽¹⁵⁾C₄
• 10! / 1! 9! . 5! / 3! 2! / 15! / 4! 11! + 10! / 0! 9! . 5! / 4! 1! / 15! / 4! 11!
• ⁽¹⁰⁾C₄ ⁽⁵⁾C₀ / ⁽¹⁵⁾C₄

N. 3

12 pz 3 azz

9 rossi

• 2 pz rossi: ⁽⁹⁾C₂ ⁽³⁾C₂ / ⁽¹²⁾C₄
• Tutti i pezzi sono azz. ⁽⁹⁾C₀ ⁽³⁾C₃ / ⁽¹²⁾C₄ impossibile perché i pz azz. sono di meno rispetto a quelli da estrarre quindi almeno 1 rosso uscirà

Esercizio N. 1

Un'azienda manifatturiera è costituita da 5 reparti: A, B, C, D, E. Per i reparti A e B sono disponibili 3 responsabili alla qualità, mentre per gli altri reparti sono disponibili 4 responsabili alla qualità. Se il presidente dell'azienda intende istituire una commissione di 5 persone scelte a caso ed in blocco per redigere la relazione annuale sulla qualità dei pezzi prodotti, si determini:

• Il numero di commissioni differenti che possono essere istituite
• La probabilità che nella commissione siano presenti almeno 2 unità del reparto A
• Quale strumento del calcolo combinatorio è stato utilizzato nei quesiti precedenti e perché?

Esercizio N. 2

Siano A e B due eventi. Se P(A ∩ B)=0,524, P(A)=0,8 e P(A ∪ B)=0,85, si formalizzi e si determini:

• P(B)
• P(B/A)
• P(A ∩ B)

Esercizio N. 4

Siano A e B due eventi incompatibili. Se P(A)=0,33, P(B)=0,49, si determini:

• A) P(A^c)
• B) P(A ∪ B)
• C) P(A ∩ B)

Esercizio N. 5

Si consideri l'esperimento casuale "lancio di un dado non truccato" e si supponga di ripetere l'esperimento 2 volte.

• A) Si determini la distribuzione di probabilità della v.a. X= "numero di volte in cui si presenta un numero dispari"

• B) Si formalizzi e si fornisca il valore di F(1,5)
• C) Si formalizzi e si fornisca il valore di F(2)
• D) Si rappresenti graficamente la funzione di probabilità e la funzione di ripartizione

Esercizio N. 6

Assegnata una variabile aleatoria X discreta che può assumere i valori appartenenti all’insieme A={0, 3, 6},

• A) Si determini il valore del parametro d della funzione g(x) = 1^(1/d_x+1), con x ∈ A, in maniera tale che g(.) sia la funzione di probabilità della variabile aleatoria X
• B) Si determini la distribuzione di probabilità della v.a. discreta
• C) Si formalizzi il calcolo di F(5)