Integrali (formule, proprietà ed esercizi)

Integrali definiti

Funzione   y = f(x)

Come calcolare l'area?

Passaggi al limite:

• Divido in rettangoli piccoli in modo da poter considerare la funzione come una retta.
• L'area di una delle strisce verticali   ≈   f(x) Δx.
• Se   Δx → 0   gli errori nel calcolo delle aree tendono a zero.

∫_a^b f(x) dx = lim_{Δx → 0}  (Somma delle aree di tutte le strisce verticali)                    (cioè   Σ f(x)_i Δx)

Proprietà dell'integrale definito

∫_a^b (f(x) + g(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx

Se K = costante allora:

∫_a^b K f(x) dx = K ∫_a^b f(x) dx

∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx

Per convenzione:

∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx

Integrali definiti

Funzione

Come calcolare l'area?

Passaggi al limite:

• Dividi in rettangoli piccoli in modo da poter considerare la funzione come lineare.
• Una sotto.
• L'area di una delle strisce verticali ≅ f(x)_i Δx.
• Se Δx → 0 gli errori nel calcolo delle aree tendono a zero.

∫_a^b f(x) dx

Proprietà dell'integrale definito

∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx

Se K è costante allora:

∫_a^b K f(x) dx = K ∫_a^b f(x) dx

Per convenzione

∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f: [a,b] → ℝ una funzione continua

Sia G: [a,b] → ℝ tale che G'(x) = f(x)

G è detta "primitiva" di f

Allora

∫_a^b f(x) dx = G(b) - G(a)

Una funzione G (primitiva di f) tale che G' = f si indica con G = ∫f(x) dx

Integrali di funzioni elementari

Se k è costante:

∫k dx = kx + c    ( c costante )

∫x dx = x²⁄2 + c

∫x² dx = x³⁄3 + c

→ ∫x^m dx = x^m+1⁄(m+1) + c    (se m ≠ -1)

Se m = -1

∫x^-1 dx = ∫