Esercizi svolti di analisi 1

Revisionato il 26/07/2026

di robb._.g

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vi propongo una raccolta di esercizi svolti di analisi 1 che mi sono risultati particolarmente d'aiuto ed elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Soave Nicola

Università Politecnico di Milano

A.A. 2021-2022

66 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

27/08/2020 Prop. - Disequazione triangolare

∀x,y ∈ ℝ & x, |x+y| ≤ |x| + |y| (1)

Dimostrazione

Dim. ∃ h.t. -|x| -|y| ≤ y ≤ |y|

∀x,y ∈ ℝ→ sommando membro a membro

-|x|-|y| ≤ x+y ≤ |x|+|y|

-(|x| + |y|) ≤ x+y ≤ (|x| + |y|)

Per la def. di valore assoluto di un vett il num. reale positivo -a se a

Dato a > 0, siccome che |x| |x+y| ≤ |x| + |y| □

Dim. ∀x,y ∈ ℝ

-|x| |x| ≤ |y| |y| (2)

∴ -|x| -|y| ≤ |x|+|y| ≤ |y|+|y| ∫ (|x| + |y|) +2|x| + |y|

Lav. dis. triangolare si può anche esprimere come un lato è minore della somma degli altri 2 |a-b| ≤ |b-c| + |a-c|

Dato che dat a,b,c ∈ ℝ |a-c| esprime la distanza euclidea tra a e c sulla retta reale

Pongo b-x, e |a-c|=y

Sulla (1) sostituisco x = a-b e y = b

|a-b| ≥|a-b|≥|a-b||trasetto o con b| ≥ |a-b|+|b-a-b| ≥ |(a-b)||a-b| - |b| ≥ |a-b|

Prop. - Diseguaglianza triangolare

∀x,y ∈ ℝ |x+y| ≤ |x| + |y| (1)

Dim. |a| < a ∀x,y ∈ ℝ

-|y| ≤ y ≤ |y|

Comando neutro a membro

Ricorda |x| ; 0 > x > 0

-|x| - |y| ≤ x+y ≤ |x| + |y|

-(|x| + |y|) ≤ x+y ≤ (|x| + |y|)

Per la def. di valore assoluto di un vett.

Il num. reale positivo

|a| = ⎨ a se a > 0-----⎩ -a se a < 0

Dato a≥0, siccome che |x| ≤ a a ≤ x ≤ a |x+y| ≤ |x| + |y| □

Seconda tesi

Ts |x-y| ≤ |x| + |y| (2)

-|x| ≤ |x| ∀x,y ∈ ℝ -|x| - |y| ≤ x ≤ |x| + |y|

Da 1 |x+y| ≤ |x| + |y| ≤ |x| + |y|

(ii) |x+y| ≤ |x| + |y|

Dove dim precedentemente

|x| + |y| ≥ |x| + |y| (1)

Leo dis. triangolare si può anche esprimere come

un lato è minore della somma degli altri 2

|a-b| ≤ |b-c| + |a-c|

Dado che datos c∈ℝ |a-c|

Utiliza la distanza euclidea tra se e sulla retta reale

a c

|a-c|

Pongo b-c = x

e a-c = y

Dalla (1) sostituisco x = a-b e y = b

|a-b| > |x| > |a-b| > |a|

Premeto su con > |b-a| (|b-b|) = |b| - |a|

〉(|a-b|)

|a| - |b| | ≥ |a-b|

T3

T3 |x| - |y| <= |x + y| (3)

Sappiamo che |x| + |y| <= |x + y|

|x| + |(-y)| <= |x + (-y)| |x| + |y| <= |x| + (-y) |x| + |y| >= |x| - y

|x + y|

da (1) può estendersi al caso di n addendi:

(( ∑_k=1 |x_k| ) <= ( ∑_k=1 |x_k| ))

Proprietà immediate

Proprietà: |a b| = |a| |b|
Proprietà: (a/b) = |a| / |b|
Proprietà: -a| = |a|

(3) Corretta!

Casi

caso 1

|x| < |y|: allora

|x| + |y|

dis. triangolare |a+b| <= |a| |b| =|a+b|-|a| <= |b| con a=-y, b=x+y

troviamo

|x| - |y| = |x+y| = |x+y-|y| = |x+y| ▢

caso |x| < |y|

Il discorso è analogo ma si cambia il segno di x e y

Esempi di inf/sup

Es: inf/sup(0, π] = { x∈ℝ : 0<x≤π }

determinare (insieme dei maggioranti (minoranti), sup (inf), eventuali max (min)).

∅

(π, +∞)

(-∞, 0)

Tutti gli altri ∅ dei magg.

(0, π]

(0, π]^⊆ dei min.

poiché π ∈ (π, +∞)

Funzione seno

inf/sup (max/min) di A = { y∈ℝ : y=senx, x ∈ [0, ^3/4π] }

_N.B. non è il sistema preso in considerazione

graficamente:

y=senx

A = [-^√2/2, 1]

1=max(A)

-^√2/2= min(A)

B = { y∈ℝ : y=senx }

min(B)= -1

max(B)= 1

Insiemi B e C

siano B= [-2,0) e C= [-3, -1]

a B∈B e C∈C, determinare inf e sup di:

D= { b+c }
InfD: più piccolo di B + più piccolo di C = -5= minD
SupD = 0-1= -1= max D
-2∈B ∧ -3∈C
E ⊆ C-b
InfD = -3-0= -3 minE
SupD = 1+2= 1= max(E)

3 — F = {c\sup b}

sup(F) = +∞

num(o)

inf(E) = _x min(F)

1/2 = min(F)

Determinare inf/sup

Determinare inf/sup, verificando la definizione di G = {x∈ℝ: x=3+2/n}

Candidato: sup(G): 5

inf(G): 3

Verifico:

sup(G) = 5

5 è il più piccolo ∀ ε>0, 5-ε non è maggiorante 5-ε non ∃ x ∀ x∈G

∃ n t.c. 5-ε Se 2-ε > 0

2-ε > n

2-ε > 1

(2-ε) ε > n — n = 3

Verifica con l'inf(ε)

a) ∃3 < ∀x∈ℤ

3 ≤ 3 + 2/n ∀n∈ℕ, n>0

0 < 2/n sempre vera V

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