Esercizi sulle derivate con soluzioni

Derivate – esercizi con soluzioni

1. Calcolare le seguenti derivate applicando la definizione:

a. Per 0x     f x h f x  0 0f x lim

Applicando la definizione di derivata in un punto: si ha:

0 hh 0  x x h1 1      x x h h 1 1x x hx h x        f x lim lim lim lim lim      2  h h xh x h xh x h x x h x    h 0 h 0 h 0 h 0 h 0x xx

b. Per f ( x ) e 0

Si applica la definizione di derivata in un punto:

 x h x x h x x h   e e e e e e e 1  (*)  f x lim lim limh h h  h 0 h 0 h 0

 h e 1Analizziamo una parte del limite: si pone da cui elim h h   e 1 t e t 1hh 0

 quindi . Sostituendo si ha: h ln t 1

 h e 1 t 1 1  lim lim lim lim  1 1h ln t 1     h 0 t 0 t 0 t 0

  ln t 1ln t 1 tt 1 1 11    lim 1 lim t 1 e sapendo che per il limite notevole, si ha:t 1 ln e 1 t 0 ln t 1t 0 t

 x h e e 1 x xRicapitolando si ha (*)   lim e 1 ehh 0

  xQuindi f x e

Da notare che la derivata della funzione è uguale alla funzione stessa !xe

c. Per x 22c. per  f ( x ) 5 x 3 x 1 0

Si applica la definizione di derivata in un punto:

               2 2 2              5 2 h 3 2 h 1 5 2 3 2 1 5 4 4h h 6 3h 1 20 6 1    f 2 lim limh h h 0 h 0- 1 -

   2 2        20 20h 5h 5 3h 15 5h 17h 15 15 h 5h 17       lim lim lim lim 5h 17 17h h h   h 0 h 0 h 0 h 0

Funzioni derivabili nei punti indicati

2. Dire se le seguenti funzioni sono derivabili, applicando la definizione di derivata, nei punti indicati:

   x 3 per x