Esercizi riepilogativi Fondamenti di algebra lineare e geometria

1 Esercizi riepilogativi 11 Esercizi riepilogativi

Determinare al variare del parametro reale una base dela,Esercizio 1. 3nucleo e una base dell’immagine dell’endomorfismo di definito da:L Ra    (a + 1)x 2y + 2z−x += −ax −y ay zL     +−z ax ay az

Costruiamo la matrice associata all’endomorfismo rispettoASvolgimento. 3alla base naturale di :R  + 1 2−2a= −a −1a .A  −aa a

Riduciamo in forma a scala:A   1 + 1 1 + 1−2 −2a a(1) (a)H H1,2 2,1 20 1−a −1 − −a a a a−−−−→ −−−−−→A   (−a)H 23,1 0 + 0−a −aa a a 1 + 1−2 a(1)H 3,2 ′0 1) 1 =− −a(a a−−−−→ A . 0 0 1−a

Ricordiamo che ) = = . Pertanto, se {0, 1}, ha tre′ ′#∈dim(ImL rkA rkA a Aapivot, quindi ) = = 3 e (dal teorema delle dimensioni segue′dim(ImL rkAa 3che) ) = 0. Quindi, = ed una sua base è la base naturaledim(KerL ImL Ra a3di , mentre = {0 } e la sua base è (per definizione) l’insieme vuoto.KerLR 3a R

Possiamo arrivare alle stesse conclusioni ricordando che = 0#det(A)Nota. 2se e solo se = 3, ed osservando che = 1) .−rkA det(A) a(a

Analizziamo ora i casi = 0 e = 1. Se = 0 la matrice diventa:a a a A 1 2−20 0= −1A . 0 0 0

Poiché è a scala e ha due pivot, = 2 e le colonne passanti per iA rkA    1 2 0=pivot formano una base di , ovvero, B è−1ImL ,0 ImL   0 00 1 Esercizi riepilogativi 2una base di . Per il teorema delle dimensioni, ) = 1 e perImL dim(KerL0 0determinare una base di risolviamo il sistema lineare omogeneo cheKerL 0ha come matrice incompleta:A  = 2hx/ 2y + 2z = 0−x  =y h⇒ ∈, h R.= 0−z = 0z  0    222h 2100  11 =e B= èQuindi = h ∈hkerL R0 KerL00    0 000  0una base di .KerL 0  2 2−21

Se = 1, allora = . Determiniamo e una base di−1 −1a A rkA 1 1−1.ImL1 2 1 3 2Metodo 1. Sappiamo che 2. Poichè = e = , abbiamo≤ −ArkA A A A1che = 1 e B = {A } è una base di .rkA ImL1ImL 0

Metodo 2. Riduciamo in forma a scala:A  1 1−1 ′0 0 0 =→− A .A  0 0 0Le colonne di corrispondenti ai pivot di formano una base di . Nel′A A ImL1nostro caso, la prima colonna di forma una base di .A ImL1

TMetodo 3. Riduciamo in forma a scala:A  2 12 1 −1−1 (−1)H 3,1T 0 0 01 == −2 −1 −−−−−→ B.A   (1)H 2,1 0 0 02 1−1

TLe colonne non nulle di formano una base di , quindi B =B ImL1 ImL 1  2  .−1 1 Per il teorema delle dimensioni, ) = 2 e per determinare una basedim(KerL 1di risolviamo il sistema lineare omogeneo che ha come matrice′KerL A1incompleta: 3 + = 0−x y z1 Esercizi riepilogativi 3 0 1    1 −1−k h 200  1 0=Risolvendo otteniamo che = k ∈h, k ,kerL R1 0     0 0 1h  0    1 −1 1 0e B = è una base di ., KerL 1KerL    1 0 1 

Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria

Prova scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometria, Vicenza, 27 giugno 2011, Tema 1

Università degli Studi di Padova – Facoltà di IngegneriaLauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.M. Lavrauw, R. Sanchez, C. ZanellaProva scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometriaVicenza, 27 giugno 2011Tema 1Tempo a disposizione: due ore e mezza.Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismoa,3di definito daL Ra (x, = (x 2y + + 4y + (1 + 2y + (1 +L y, z) az, z, a)x a)z).a − −2x −

2. Data la retta 2y + + 1 = 0x z−:r + 4y + 2 = 0z−2x −e il punto (1, 1, 1) nello spazio, determinare le (i) del piano contenenteP π requazioni cartesiane 1e , (ii) del piano contenente ed ortogonale ad (iii) Calcolare la distanza di daP π P r. P r.2

3. Data la matrice reale  1 1 11 0 1=A , 1 1 1Ttrovare una matrice ortogonale tale che sia diagonale.H H AH

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale il seguente sistema lineare:α, + 2y 3z =x α− 3x + 2z = 1y−5y + 8z =x − −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesseiπ/34dell’equazione = .z −e

Prova scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometria, Vicenza, 27 giugno 2011, Tema 2

Università degli Studi di Padova – Facoltà di IngegneriaLauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.M. Lavrauw, R. Sanchez, C. ZanellaProva scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometriaVicenza, 27 giugno 2011Tema 2Tempo a disposizione: due ore e mezza.Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismoa,3di definito daL Ra (x, = (4x 2y + + + 2x + (1 + (1 +L y, z) z, y az, a)y a)z).a − −2x −

2. Data la retta 2x 1 = 0y z− − −:r 4x 2y + 2 = 0z− −e il punto (1, 1, 1) nello spazio, determinare le (i) del piano contenenteP π requazioni cartesiane 1e , (ii) del piano contenente ed ortogonale ad (iii) Calcolare la distanza di daP π P r. P r.2

3. Data la matrice reale  0 1 11 1 1=A , 1 1 1Ttrovare una matrice ortogonale tale che sia diagonale.H H AH

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale il seguente sistema lineare:α, 3x + 2z = 1y− 4x + = 1 +y z α−5y + 8z =x − −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complessei2π/34dell’equazione = .z −e

Prova scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometria, Vicenza, 27 giugno 2011, Tema 3

Università degli Studi di Padova – Facoltà di IngegneriaLauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.M. Lavrauw, R. Sanchez, C. ZanellaProva scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometriaVicenza, 27 giugno 2011Tema 3Tempo a disposizione: due ore e mezza.Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismoa,3di definito daL Ra (x, = (x + 2z, (1 + (1 + + 2z, + + 4z).L y, z) ay a)x a)y ya − − −2x

2. Data la retta + 2z + 1 = 0x y −:r 2x + 4z 2 = 0y − −e il punto (1, 1, 1) nello spazio, determinare le (i) del piano contenenteP π requazioni cartesiane 1e , (ii) del piano contenente ed ortogonale ad (iii) Calcolare la distanza di daP π P r. P r.2

3. Data la matrice reale  1 1 11 1 1=A , 1 1 0Ttrovare una matrice ortogonale tale che sia diagonale.H H AH

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale il seguente sistema lineare:α, 3y + 2z =x α− 3x + 2y = 1z−+ 8y 5z =x − −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse4dell’equazione = .z −iπ/3−e

Prova scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometria, Vicenza, 27 giugno 2011, Tema 4

Università degli Studi di Padova – Facoltà di IngegneriaLauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.M. Lavrauw, R. Sanchez, C. ZanellaProva scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometriaVicenza, 27 giugno 2011Tema 4Tempo a disposizione: due ore e mezza.Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

1. Determinare, al variare del parametro reale una base del nucleo e una dell’immagine dell’endomorfismoa,3di definito daL Ra (x, = (4x + 2z, 2x + (1 + + (1 + +L y, z) y a)y a)z, ay z).a − − −2x

2. Data la retta 2x 1 = 0y z− − −:r 4x 2z + 2 = 0y− −e il punto (1, 1, 1) nello spazio, determinare le (i) del piano contenenteP π requazioni cartesiane 1e , (ii) del piano contenente ed ortogonale ad (iii) Calcolare la distanza di daP π P r. P r.2

3. Data la matrice reale  0 1 11 1 1=A , 1 1 1Ttrovare una matrice ortogonale tale che sia diagonale.H H AH

4. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale il seguente sistema lineare:α, 3x + 2y = 1z− 4x + = 1 +y z α−+ 8y 5z =x − −α.

5. Esprimere nella forma preferita (algebrica, esponenziale o trigonometrica) le soluzioni complesse4dell’equazione = .z −i2π/3−e

Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria

Prova scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometria, Vicenza, 18 luglio 2011, Tema 1

Università degli Studi di Padova – Facoltà di IngegneriaLauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.M. Lavrauw, R. Sanchez, C. ZanellaProva scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometriaVicenza, 18 luglio 2011Tema 1Tempo a disposizione: due ore e mezza.Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 21. Scomporre il polinomio (z) = 2z + 4 nel prodotto di polinomi a coefficienti reali irriducibiliP z −su R. 32. Dato l’endomorfismo di definito dalle condizioniR2, 3) = (1, 1), 1, 1) = (1, 1, 1), 0, 1) = (1, 0, 1),L(1, L(1, L(1,−1,calcolare, al variare del parametro reale (1, 1,a, L a).−1

3. Sia la retta per i punti (5, 0, 2) e 0) e la retta di equazionir P Q(1, s−1, 6 = 0x y z− − −:s + 5z 2 = 0.x y − −Calcolare la distanza tra edr s.

4. Determinare i valori del parametro reale per i quali la matriceh  1 0 h0 0 0=M ,h  1 0 1è diagonalizzabile su corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibileR;tale che la matrice risulti diagonale.C C M C−1h h hh

5. (i) Della seguente matrice, calcolare il determinante e tutti i complementi algebrici: 1 2h1 0 2=B h −1 −1 −1(ii) Stabilire per quali valori del parametro la matrice risulta invertibile e, per ciascuno di talih B hvalori, calcolare l’inversa .B −1h

Prova scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometria, Vicenza, 18 luglio 2011, Tema 2

Università degli Studi di Padova – Facoltà di IngegneriaLauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.M. Lavrauw, R. Sanchez, C. ZanellaProva scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometriaVicenza, 18 luglio 2011Tema 2Tempo a disposizione: due ore e mezza.Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 21. Scomporre il polinomio (z) = + 2z + 4 nel prodotto di polinomi a coefficienti reali irriducibiliP zsu R. 32. Dato l’endomorfismo di definito dalle condizioniR2, 3) = (1, 1), 1, 1) = (1, 1, 1), 0, 1) = (1, 0, 1),L(1, L(1, L(1,−1,calcolare, al variare del parametro reale (2,a, L a).−1 −1,

3. Sia la retta per i punti (0, 5, 2) e 1, 0) e la retta di equazionir P Q(−2, s + +6 = 0x y z−:s + 5z 2 = 0.x y − −Calcolare la distanza tra edr s.

4. Determinare i valori del parametro reale per i quali la matriceh  0 0 00 1= hM ,h  0 1 1è diagonalizzabile su corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibileR;tale che la matrice risulti diagonale.C C M C−1h h hh

5. (i) Della seguente matrice, calcolare il determinante e tutti i complementi algebrici: 0 1 21 2= hB h −1 −1 −1(ii) Stabilire per quali valori del parametro la matrice risulta invertibile e, per ciascuno di talih B hvalori, calcolare l’inversa .B −1h

Prova scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometria, Vicenza, 18 luglio 2011, Tema 3

Università degli Studi di Padova – Facoltà di IngegneriaLauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.M. Lavrauw, R. Sanchez, C. ZanellaProva scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometriaVicenza, 18 luglio 2011Tema 3Tempo a disposizione: due ore e mezza.Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 21. Scomporre il polinomio (z) = 2z + 4 nel prodotto di polinomi a coefficienti reali irriducibiliP z −su R. 32. Dato l’endomorfismo di definito dalle condizioniR3, 2) = (1, 1, 1, 1) = (1, 1, 1), 1, 0) = (1, 1, 0),L(1, L(1, L(1,−1),calcolare, al variare del parametro reale (1, 1).a, L a,−1

3. Sia la retta per i punti (0, 2, 5) e 0, 1) e la retta di equazionir P Q(−2, s + +6 = 0x y z−:s 5y + 2 = 0.x z− −Calcolare la distanza tra edr s.

4. Determinare i valori del parametro reale per i quali la matriceh  1 0h1 1 0=M ,h  0 0 0è diagonalizzabile su corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibileR;tale che la matrice risulti diagonale.C C M C−1h h hh

5. (i) Della seguente matrice, calcolare il determinante e tutti i complementi algebrici: 2 1h=B h −1 −1 −1  1 2 0(ii) Stabilire per quali valori del parametro la matrice risulta invertibile e, per ciascuno di talih B hvalori, calcolare l’inversa .B −1h

Prova scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometria, Vicenza, 18 luglio 2011, Tema 4

Università degli Studi di Padova – Facoltà di IngegneriaLauree triennali in: Ingegneria Gestionale, Ingegneria Meccanica e Meccatronica – proff.M. Lavrauw, R. Sanchez, C. ZanellaProva scritta di Fondamenti di algebra lineare e geometriaVicenza, 18 luglio 2011Tema 4Tempo a disposizione: due ore e mezza.Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia.Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni.

4 21. Scomporre il polinomio (z) = + 2z + 4 nel prodotto di polinomi a coefficienti reali irriducibiliP zsu R. 32. Dato l’endomorfismo di definito dalle condizioniR3, 2) = (1, 1, 1, 1) = (1, 1, 1), 1, 0) = (1, 1, 0),L(1, L(1, L(1,−1),calcolare, al variare del parametro reale (2,a, L a,−1 −1).

3. Sia la retta per i punti (0, 2, 5) e 0, 1) e la retta di equazionir P Q(−2, s + +6 = 0x y z−:s 5y + 2 = 0.x z− −Calcolare la distanza tra edr s.

4. Determinare i valori del parametro reale per i quali la matriceh  0 0 00 1 1=M ,h  0 1hè diagonalizzabile su corrispondentemente a ciascuno di tali valori, trovare una matrice invertibileR;tale che la matrice risulti diagonale.C C M C−1h h hh

5. (i) Della seguente matrice, calcolare il determinante e tutti i complementi algebrici: 0 2 1=B h −1 −1