Esercizi Matematica per la formazione di base (I) Parte 1: Insiemi e applicazioni, Principio di induzione, Numeri naturali

Esercizi per il corso di Matematica per la formazione di base (I) 6 CFU A.A. 2016/2017

Vengono proposti alcuni esercizi per l'insegnamento di Matematica per la formazione di base (I). Il loro svolgimento non sostituisce quello degli esercizi presenti nei testi utilizzati a lezione, ma li integra.

Alcuni esercizi dovrebbero essere relativamente semplici, altri invece potrebbero essere più complessi o anche molto complessi. Ma è meglio non risolverli, provandoci invece con impegno, che copiarne la soluzione senza riflettere o addirittura non provarci affatto.

Insiemi e applicazioni

1. Trova esplicitamente l'insieme di tutte le applicazioni biunivoche di un insieme in se stesso nei seguenti casi: X₁ = {a₁}, X₂ = {a₁,a₂}, X₃ = {a₁,a₂,a₃}.
2. Prova a pensare a quante sono le applicazioni biunivoche di X_n in se stesso quando X_n è un insieme finito di n elementi.
3. Trova esplicitamente l'insieme di tutte le applicazioni iniettive X₂ = {a₁,a₂} in Y₃ = {b₁,b₂,b₃} e di X₃ = {a₁,a₂,a₃} in Y₄ = {b₁,b₂,b₃,b₄}.
4. Elenca esplicitamente tutti i sottoinsiemi di X₀ = 0, di X₁ = {a₁}, di X₂ = {a₁,a₂} e di X₃ = {a₁,a₂,a₃}.
5. Osserva che in tutti i casi ogni insieme ha il doppio dei sottoinsiemi dell'insieme che ha un elemento in meno e prova a pensare se questa proprietà si generalizza ad ogni insieme con un numero finito di elementi.
6. Dimostra che l'applicazione f : N -> N data da n -> f(n) = 2n è iniettiva e trovane esplicitamente l'immagine.
7. Dimostra che l'applicazione g : N -> N data da n -> g(n) = 2n + 1 è iniettiva e trovane esplicitamente l'immagine.
8. Dimostra che l'applicazione h : N -> N data da n -> g(n) = n² è iniettiva e trovane esplicitamente l'immagine.
9. L'applicazione n -> n² - 3n + 2 definisce una funzione di N in se stesso? È iniettiva o suriettiva?

Chiunque noti errori, imprecisioni od omissioni (sempre possibili!) è pregato di segnalarlo ai docenti. Il file può essere di conseguenza ancora aggiornato.

Esercizi per il corso di Matematica per la formazione di base (I) 6 CFU A.A. 2016/2017

Vengono proposti alcuni esercizi per l'insegnamento di Matematica per la formazione di base (I). Il loro svolgimento non sostituisce quello degli esercizi presenti nei testi utilizzati a lezione, ma li integra.

Alcuni esercizi dovrebbero essere relativamente semplici, altri invece potrebbero essere più complessi o anche molto complessi. Ma è meglio non risolverli, provandoci invece con impegno, che copiarne la soluzione senza riflettere o addirittura non provarci affatto.

Insiemi e applicazioni

1. Trova esplicitamente l'insieme di tutte le applicazioni biunivoche di un insieme in se stesso nei seguenti casi: X₁ = {a₁}, X₂ = {a₁, a₂}, X₃ = {a₁, a₂, a₃}. Prova a pensare a quante sono le applicazioni biunivoche di X_n in se stesso quando X_n è un insieme finito di n elementi.
2. Trova esplicitamente l'insieme di tutte le applicazioni iniettive X₂ = {a₁, a₂} in Y₃ = {b₁, b₂, b₃} e di X₃ = {a₁, a₂, a₃} in Y₄ = {b₁, b₂, b₃, b₄}.
3. Elenca esplicitamente tutti i sottoinsiemi di X₀ = 0, di X₁ = {a₁}, di X₂ = {a₁, a₂} e di X₃ = {a₁, a₂, a₃}. Osserva che in tutti i casi ogni insieme ha il doppio dei sottoinsiemi dell'insieme che ha un elemento in meno e prova a pensare se questa proprietà si generalizza ad ogni insieme con un numero finito di elementi.
4. Dimostra che l'applicazione f : N → N data da n → f(n) = 2n è iniettiva e trovarne esplicitamente l'immagine.
5. Dimostra che l'applicazione g : N → N data da n → g(n) = 2n + 1 è iniettiva e trovarne esplicitamente l'immagine.
6. Dimostra che l'applicazione h : N → N data da n → g(n) = n² è iniettiva e trovarne esplicitamente l'immagine.
7. L'applicazione n → n² - 3n + 2 definisce una funzione di N in se stesso? È iniettiva o suriettiva?

Chiunque noti errori, imprecisioni od omissioni (sempre possibili)! è pregato di segnalarlo ai docenti. Il file può essere di conseguenza