Esercizi - Inferenza Statistica e Metodi Computazionali

Esercizio Se=1

1. Sia _{X1, ..., Xn} v.a. con X_i ~ gamma (α_i, β) per α_i ∈ (4, i+m) con f_Xi(x; α_i, β) = ^{xα_i-1 e-x/β}/_{[Γ(αi)β^αi]} x > 0 Dimostra che se Y = ∑ X_i allora Y ~ Gamma (∑ⁿ_i α_i, β) ⇨ So che dato Y = ∑ⁿ_i X_i allora M_Y(t) = e^-t/β ∏ⁿ_i=1 M_Xi(2t) Nel nostro caso ∑ α_i = b o quindi _{MY(f) = ∏ⁿi=1 MXi(f) = [1/1+tβ]^{∑ni=1 αi} ⇨ Y ~ Gamma(∑ⁿi=1 αi, β)}
2. Sia X = (x₁, ..., x_n) un campione casuale da una popolazione con densità f(x; θ) = ¹/_θ exp[-(^x/_θ)] x > 0 θ > 0 Trova la densità di (X_1:n, max{Y₁, ..., X_n})
   • Si tratta di una popolazione con distribuzione esponenziale, la cui funzione di ripartizione è: F_X = 1- exp(-(^x/_θ)) Quindi:
     • X_1:n
   f(x_1:n,x;θ) = n[_f(x;θ)]? {[F(x;θ)]^n-1} = n[_{1/θ exp (-(^x/θ)}]? [_{1-exp(-^x/θ)^n-1]}
3. Sia X = (x₁, ..., x_n) un campione casuale da una popolazione con densità: f(_x;θ) = 1/θ exp (-^x2/θ²₂²) x ≥ 0 θ > 0
   1. Verifica che {f(x ;θ)} ∈ {R_k} è una famiglia esponenziale e scrivila in forma canonica
   2. Scrivi la f.d. densità congiunta di X
   3. Trova una statistica sufficiente per θ
   Una famiglia esponenziale ha f(x;θ) = h(x).exp(∑g_i(θ)g(x)) a(θ) f(_x;θ) = exp[ln(_1/θ-^x2/2θ₂²)] = exp{∑m(x_j, m(θ) jⁿ) -^x2/2θ²θ} = x exp[-^x2/2θ²] h(xⁱ)}
   • h(x) = x
   • c(θ)= ^1/2θ2
   • t(x) = x²
   • b(x) = ln(ln(b(x))}

Esercizio 1

1. Sia \(X_1, \ldots, X_n\) v.a. con \(X_i \sim \text{gamma} (d_i, \beta)\) per \(i \in \{1, \ldots, m\}\) con:\(\frac{x_i^{d_i-1} e^{\frac{-x_i}{\beta}}}{\Gamma(d_i) \beta^{d_i}} \quad x > 0\)

Dimostra che se \(Y = \sum_{i=1}^{n} X_i\), allora \(Y \sim \text{Gamma} (\sum_{i=1}^{n} d_i, \beta)\)

↣ So che dato \(Y = \sum_{i=1}^{n} X_i\), allora \(M_Y(t) = e^{d_i t} M_{X_i}(2 t)\)

Nei nostri caso 2: \(i = 1, b = 0\), quindi \(M_Y(t) = \prod_{i=1}^n M_{X_i}(t) = (1-t\beta)^{-\frac{\sum_{i=1}^n d_i n_i}{2}}\) ↣ \(Y \sim \text{Gamma}(\sum_{i=1}^{n} d_i, \beta)\)

Esercizio 2

Sia \(X = (x_1, \ldots, x_n)\) un campione casuale da una popolazione con densità\(f(x | \theta) = \frac{1}{\theta} e^{\frac{-x}{\theta}} \quad x > 0 \quad \theta > 0\)

Trova la densità di \(X_{(1:n)}, \text{ max } \{X - X_1\}\).

↣ Si tratta di una popolazione con distribuzione esponenziale, la cui funzione di ripartizione è:\(F_{x} = 1 - \text{exp} \left( \frac{-x}{\theta} \right)

Quindi:\(f_{x(n, x; \theta)} = m \left[ \frac{f(x; \theta)}{1.} \right]^{m-1} f(x; \theta) =\) \[ \quad m. \left[1-\text{exp}\left( \frac{-x}{\theta} \right)\right]^{1} \frac{1}{\theta} \text{exp} \left( \frac{-x}{\theta} \right)\]

Esercizio 3

Sia \(X = (x_1, \ldots, X_m)\) un campione casuale da una popolazione con densità:

\(f(x, \theta) = x^{-\frac{\theta}{2\theta}+1 -2}\) exp \(\left( \frac{x}{2\theta} \right)\) \(x > 0 \quad \theta > 0\)

1. Verifica che \(\{f(x; \theta) | \theta \in R \}\) è una famiglia esponenziale e scrivila in forma canonica
2. Scrivi la f.d. di densità congiunta di \(X \)
3. Trova una statistica sufficiente per \(\theta\)
4. Una famiglia esponenziale ha:\(f(x; \theta) = h(x). exp \left(\sum_{i=1}^m X_i(\theta) x (X) = c(\theta) - a(\theta) \right) \)\[f(x; \theta) = \exp \left[\frac{1}{m(x)} + m(\theta), m(x) - \frac{x^2}{2\theta} \right] = x \exp \frac{-x}{2\theta}; h(\theta)* -l(\frac{1}{h(\theta)}) \]→ c(\theta) = - \frac{x^2}{20} \quad \right) = a(\theta) \\\[x \exp \left( \frac{x}{2\theta} \right) \left[c(\theta) \frac{-x}{2\the