Inferenza Statistica e Metodi Computazionali - Appunti + Esercizi

1. Variabili aleatorie (lez. 3)

Quando parliamo di variabili aleatorie, si parla di uno spazio S2 che è l'insieme dei possibili esiti di un esperimento casuale.

Lo spazio è dato da una coppia (S2, B2) in cui B2 è sigma algebra su S2 cioè l'insieme di sottoinsiemi di S2 i quali godono di alcune proprietà:

• S2 ∈ B2
• Se A ⊂ B2 → A^c ∈ B2
• A₁, ..., A_n insieme numerabile → ∪ A_i ∈ B2

Gli insiemi della B2 sono detti insiemi misurabili.

Uno spazio vettoriale è dunque dato da una coppia di un insieme S2 e dall'insieme di sottoinsiemi che godono di quelle proprietà.

La variabile aleatoria X è una funzione che associa ad ogni elemento di S2 un numero reale, cioè traduce l'esperimento casuale in numeri:

X: (S2, B2) → (R, B_R)

Ed è una funzione misurabile, cioè tale che l'immagine inversa di ogni insieme che si trova in B_R appartiene a B2.

Ex: lancio di una moneta, X: n° di teste.

Allora S2 = {T, C} → B2 = {∅, S2, {T}, {C}}

X(w) = { 1 se w = T; 0 se w = C }

Nel caso della probabilità, allo spazio va associato lo spazio di probabilità che è una tripletta composta da: insieme sigma algebra su quell'insieme e la misura di probabilità (Ω, B2, p).

La misura di probabilità è una funzione che associa una misura agli insiemi misurabili in S2.

Nel caso delle variabili aleatorie si parla di una misura di probabilità indotta:

La funzione di probabilità indotta si definisce così:

P_X(A) = P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω: X(w) ∈ A})

1) Variabili aleatorie

Quando parliamo di variabili aleatorie, si parla di uno spazio S2 che è l’insieme dei possibili risultati dell’esperimento casuale.

Lo spazio è dato da una coppia (S2, B2) in cui B2 è sigma algebra su S2 cioè insieme di sottoinsiemi di S2 i quali godono di alcune proprietà:

• S2 ⊆ B2
• Se A ∈ B2 ⇒ A^c ∈ B2
• A₁, ..., A_n insieme numerabile ⇒ ⋃A_i ∈ B2

Gli insiemi della B2 sono detti insiemi misurabili.

Uno spazio vettoriale è dunque dato da una coppia di un insieme S2 e dall’insieme di sottoinsieme che godono di quelle proprietà.

La variabile aleatoria X è una funzione che associa ad ogni elemento di S2 un numero reale, cioè traduce l’esperimento casuale in numeri:

X : (S2, B2) → (ℝ, B_ℝ)

Ed è una funzione misurabile, cioè tale che l’immagine inversa di ogni insieme che si trova in B_ℝ appartiene a B2

Ex. lancio di una moneta, X: n° di teste

Allora S2 = {"T", "C"} ⇒ B2 = {∅, Ω, {"T"}, {"C"}}

X(ω) = { 1 se ω = T; 0 se ω = C }

Nel caso delle probabilità, allo spazio va abbinato lo spazio di probabilità che è una tripletta composta da: insieme, sigma algebra su quell’insieme e la misura di probabilità (Ω, B2, p).

La misura di probabilità è una funzione che associa una misura agli insiemi misurabili di S2.

Nel caso delle variabili aleatorie si parla di una misura di probabilità indotta

La funzione di probabilità indotta si definisce così:

p_X(A) = P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A})

La legge di probabilità indotta dalla variabile casuale è quindi:

Esempio: lancio 3 monete

Ex: lancio 3 monete, X = n°.

Variabile aleatoria discreta

Una variabile aleatoria X è discreta quando i valori che può assumere xᵢ sono un insieme discreto, cioè numerabile.

Per questo tipo di variabili, è possibile definire una funzione di massa di probabilità (pmf):

f_X(x) = P(X = x)

Una funzione f : R → [0, 1] è una funzione di massa di probabilità ↔ esiste un insieme di valori possibili della variabile X tale che:

• f(x) ≥ 0 ∀x ∈ X
• f(x) = 0 ∀x ∉ X
• Σ f_X(xᵢ) = 1

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione F_X di una variabile aleatoria X è, in un valore x, la somma di tutti gli f(x) con xᵢ ≤ x:

F_X(x) = Σ f_X(xᵢ)

F_X(∞) = lim x→∞ F_X(x) = 1

Variabile aleatoria continua

Una variabile aleatoria si dice continua se il suo supporto (X = insieme di valori che può assumere X) è un insieme continuo, o anche se la sua funzione di ripartizione F_X è assolutamente continua.

Mentre nel caso discreto abbiamo una funzione di massa di probabilità, nel caso continuo abbiamo una funzione di densità, cioè una funzione a valori reali che soddisfa le proprietà:

• f(x) ≥ 0
• f(x) è integrabile su ogni intervallo
• ∫_R f(x) dx = 1

La funzione di densità serve per assegnare una probabilità ad un intervallo:

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_x(x) dx

Nel caso continuo la funzione di ripar