Procedimenti esercizi Geometria e algebra lineare

Tipi di esercizi

1. Scrivere eq. del piano:
   • passante per P(x₀, y₀, z₀)
   • parallelo a due rette r e s
   trova i vettori direttori delle rette v₁=(a, b, c) v₂=(a', b', c')

   [ x - x₀ y - y₀ z - z₀ ]   a   b   c   a'   b'   c' ]

   calcola il determinante
2. trovare il piede della perpendicolare conoscendo il piano π:{ax + by + cz = d} e P = (x₀, y₀, z₀) v = (a, b, c)

   [ x ] = [ x₀ ] + t [ a ] = x = x₀ + at [ y ] = [ y₀ ]   [ b ]   y = y₀ + bt [ z ] = [ z₀ ]   [ c ]   z = z₀ + ct

   a(x₀ + at) + b(y₀ + bt) + c(z₀ + ct) = d => t = u e sostituisci nell'eq. della retta
3. trovare l'eq. del piano passante per 3 pt P(x₀, y₀, z₀) A(a, b, c) R(d, e, f)

   Q - P = (a - x₀, b - y₀, c - z₀) a - R = (a - d, b - e, c - f) { (a - x₀)x + (b - y₀)y + (z - z₀)z = 0 { (a - d)x + (b - e)y + (c - f)z = 0

   sostituire a ax + by + cz = 0 sostituire un punto e trovare d
4. proiezione di un vettore u su v -> componenti perpendicolare p = u·v / ||v||²     componenti parallela

Tipi di esercizi

1. Scrivere eq. del piano:
   • passante per P(x₀, y₀, z₀)
   • parallelo a due rette r e s
   trova i vettori direttori delle rette V_r = (a, b, c) V_s = (a', b', c')

   [ x - x₀   y - y₀   z - z₀ a             b              c a'            b'             c' ]

   calcola il determinante
2. trovare il piede della perpendicolare conoscendo il piano π: {ax + by + cz = d} e P = (x₀, y₀, z₀) v = (a, b, c)

   ^xyz = ^x₀y₀z₀ + t ^abc = x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct

   a(x₀ + at) + b(y₀ + bt) + c(z₀ + ct) = d => t = ... e sostituisci nell'eq. della retta
3. trovare l'eq. del piano passante per 3 pt P(x₀, y₀, z₀)     Q(a, b, c)     R(d, e, f)

   Q - P = (a - x₀, b - y₀, c - z₀) Q - R = (a - d, b - e, c - f) { (a - x₀)x + (b - y₀)y + (z - z₀)z = 0 (d - a)x + (b - e)y + (c - f)z = 0 }

   sostituire a {ax + by + cz = 0} sostituire un punto e trovare d
4. proiezione di un vettore u su v —> componente perpendicolare P = (u · v) / ||v||² componente parallela

5.

U = AB - OB - OA

V = AC - OC - OA

proiezione di U su V (pu₁₁)

U_⊥ = U - pu₁₁

6. Risolvere con la formula di Cramer

det.

x = 1/|A| [ |A₁₁| |A₂₁| |A₃₁| ]

7. Trovare la distanza tra un piano e una retta r

troviamo un punto A di r, ponendo t = 0 A(x₀, y₀, z₀)

fare sistema tras:^x₀( x y ) + t ( x q ) e z^o ( y z ) ( a )

si trova un punto poi si fa d(A, B)

8.

Trovare la proiezione ortogonale (B) di A sul piano πtrovare l'eq. della retta passante per A e ⊥ a πpoi fare l'intersezione tra la retta e πtrovato B, trovare vettore direttore AB e trovare la retta.

9.

Determinare se 3 vettori formano una base di R³

• V₁(a,b,c)
• V₂(d,e,f)
• V₃(g,h,i)

[ a d g ] se (rk = 3 formano b e h ] una base[ c f i ]

se (rk ≤ 2 NO

10.

Esprimere V_u (x₀, y₀, z₀) come combinazione lineare di

• V₁(a,b,c)
• V₂(d,e,f)
• V₃(g,h,i)

[ a d g x₀ ] b e h y₀ ][ c f i z₀ ]Risolvere e trovare x, y, z

11.

Dato un'app. lineare

f(x,y,z) = (x + y, 2x, x - y)trovare l'immagineImu (f) = {(x + y, 2x, x - y)} = {x(1,2,1) + y(1,0,-1)} = = { (1,2,1), (1,0,-1) }trovare una base dell'immagine

[ 1 2 0 ] -> [ 0 -1 0 ] (k = 2 => 2 generatori 0 ] dell'Imu (f) { (1,2,1), (1,0,-1) }

12. Vedere se un vettore ∈ Im(ᶲ)

Im(ᶲ) = {co, b, c), cd, e, f)}

v = (x₀, y₀, z₀)

[ a d x₀ ]

[ b e y₀ ]

[ c f z₀ ]

vedere se ha soluzioni

13. Hai un'app. lin. ᶲ:ℝ⁴→ℝ⁵

f(x,y,z,t) = (x-y, x+y, y, y+3t, -x-y)

[ x 1 0 0 ]

[ -1 1 0 0 ]

[ 0 1 3 0 ]

[ 1 1 0 0 ]

→[ 0 2 0 ]

[ 0 0 0 ]

[ 0 0 3 0 ]

rk = 3 prime 3 colonne lin ind.

K(Im(ᶲ)) = { (1,-1,0,0,-1), (-1,1,1,1,-1),

(0,0,0,3,0) }

Ker(ᶲ) = {{ x-y = 0 }

{ 2y = 0 }

{ 3z = 0 }

{ t = 0 }

{x = 0 }

{y = 0 }

{z = 0 }

{t = 0 }}

14. ᶲ f(x,y,z) = (x+y, 2x-y-z, 2y+z)

B = { (1,2,-4), (0,1,1), (1,0,-7) }

_ V₁

_ V₂

_ V₃

Matrice M_B(ᶲ) associato a ᶲ rispeto

alla base B

f(V₁) = (3,4,0) f(V₂) = (1,-2,3) f(V₃) = (1,9,-7)

[ 1 0 1 ] [ 3 1 1 ] riduco a scala

[ 2 1 1 ] [ 4 -2 9 ]

[ 4 -7 0 ] [ 3 7 ]

[ 1 0 1 ] [ 3 1 ]

[ 0 0 -7 ] -7

Risolvere i 3 sistemi

f(V₁) = {  x + z = 3  4 - 2z = -2  -z = 14}(-17, -30, -4)

f(V₂) = {  x + z = 4  4 - 2z = -4  -z = 11}(12, -26, -11)

f(V₃) = {  x + z = 1  4 - 2z = 7  -z = -10}(-9, 27, -10)

M_B(f) = [  -17   12   -9  30  -26   27  11  -11   10]

15. f: R⁴ → R³

f(x, y, z, t) = {3x - 2z + t, 4x - 2y + 2z + 3t, x + 2z + 2t}B di R³V₁ = (1, 0, 0)V₂ = (-1, 0, 0)V₃ = (1, 1, 1)

[1 1 1|3 0 -2 1][0 1 1|4 -2 2 3][0 0 0|4 2 2 3] => [  1 1 1|3 0 -2 1  0 0 1|4 -2 2 3  0 0 0|4 2 2 3]Risolvere i 4 sistemi e trovare la matrice

16.

Avendo una Base B = {V₁, V₂, V₃}e sia f: R³ → R³ definito dalla matrice

M_B(f) = [ ]t(1, 0, 0) = aV₁ + bV₂ + cV₃t(0, 1, 0) =t(0, 0, 1) =e hai trovato la matrice associata

17.

f: ℝ² -> ℝ³

t(x,y) = (2x, x-y, 2y)

B = { (1,0), (1,1) }

B' = { (1,1,0), (0,1,1), (0,0,2) }

Determinare la matrice A = M_B^B'(f)

f(1,0) = (2,1,0)

f(1,1) = (2,0,2)

[1 0 0]0 2 00 0 2

e risolvo

18.

B' = { (1,1,0), (0,1,1), (0,0,2) }

trovare M_C,B' -> matrice da C a B'

(1,0,0) = (a, a+b, b+2c)

(0,1,0) = " "

(0,0,1) = " "

[1̅ ḯ ̅0 0 ̅]1/2 -1/2 1/2

19.

Determinare la proiezione ortogonale di v su w

p(v) = <v,w>/||w||² * w

20.

Dati V₁,V₂ ∈V trovare V₁

(u, V₁) = (u, V₂) = 0

V_n = (a, b, c) V₂ = (x_o, y_o, z_o)

{ ax+by+cz = 0xo xₜ + uo uₜ + zo zₜ = 0

hai trovato V₁