Procedimenti esercizi cinematica

Regole per la cinematica e la Jacobiana

• Per la regola della x: è giusta, ma ce n'è una più comoda che funziona anche quando non c'è una common normal: metterla ortogonale alla z e alla z precedente, tipo X2 deve essere ortogonale a Z2 e Z1. Il verso è a scelta.
• Poi l'end effector non conta come joint, quindi una volta finiti i RFS dei joint si mette l'ultimo al centro dell'end effector, con asse Z allineato all'asse Z precedente e la X sempre perpendicolare alle due Z precedenti.

Moltiplicazione di matrici

Moltiplicazione matrici è riga per colonna:

A = [ a b ] [ c d ]

B = [ e f ] [ g h ]

Matrice finale:

C = [ a·e + b·g a·f + b·h ] [ c·e + d·g c·f + d·h ]

Nota

• T/A è la matrice della trasformazione omogenea DH.
• R è la matrice di rotazione (contenuta in T).
• J è la Jacobiana.

Cinematica differenziale

Nel contesto della robotica, dopo aver studiato la cinematica diretta, che descrive la relazione tra le variabili di giunto o traslazioni) e la posizione e orientazione (angoli dell'end-effector espressa come:, = ()) si introduce il concetto di cinematica differenziale, che riguarda invece le velocità.

In particolare, si vuole capire come le velocità dei giunti influenzano la velocità dell'end-effector.

Per ottenere questa relazione, si deriva la cinematica diretta rispetto al tempo. Applicando la derivata si ottiene: ẋ = ()

Poiché una funzione di più variabili (i giunti), usando la regola della derivata per () è funzioni vettoriali si ottiene: ẋ = () q̇

dove: è la velocità dell'end-effector (sia lineare che angolare),

• q̇ è il vettore delle velocità dei giunti.
• J̇ è la Jacobiana, una matrice che dipende dalla configurazione del robot ().

In forma esplicita: ẋ q̇ = [ ] = () q̇

• Rappresenta la velocità lineare (nelle direzioni ẋ, ẏ, ż).
• Rappresenta la velocità angolare.

A seconda del tipo di giunto si hanno due casi:

Giunto prismatico: z_i−1 = [ ] 0

Giunto revoluto: z_i−1 × (p_e − p_i−1) = [ ] z_i−1

Ogni colonna è un giunto, ad esempio nel robot RRP: (P=Pe)

Ora si sostituiscono i valori:

• Pe (posizione end effector è l'ultima colonna della matrice A (primi tre valori).
• P0 è [ 0 0 0 ] è il centro