Esercizi Fisica 1 2 svolti

Esercizi di fisica generale per Ingegneria IBeT

Università Parthenope Dipartimento di Ingegneria

Prof. Camilla Di Donato

Gruppo: IBeT

Indice

• 1 Prodotto scalare 44
  1.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 2 Prodotto vettoriale 44
  2.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 3 Moto rettilineo uniforme 66
  3.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 4 Moto rettilineo uniformemente accelerato 77
  4.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 5 Moto verticale 88
  5.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 6 Moto verticale 2 99
  6.1 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  6.2 Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 7 Moto vario 1010
  7.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 8 Moto circolare uniforme 1111
  8.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 9 Moto circolare uniforme (2) 1212
  9.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 10 Moto parabolico 1313
  10.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 11 Moti relativi 1414
  11.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 12 Piano inclinato senza attrito 1616
  12.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 13 Piano inclinato con attrito 1717
  13.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 14 Moto su un piano in presenza di attrito 1919
  14.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 15 Moto di un sistema in presenza di attrito 2121
  15.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 16 Masse collegate con un filo ideale tramite le carrucole 2222
  16.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 17 Forze elastiche 2424
  17.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 18 Il centro di massa 2525
  18.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 19 Asta orizzontale in equilibrio 2626
  19.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 20 Il moto di rotolamento 2727
  20.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 21 Equilibrio di una scala poggiata alla parete 2929
  21.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 22 Urto elastico tra due punti materiali 3131
  22.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 23 Urto completamente anelastico tra due punti materiali 3232
  23.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 24 Esplosione 3333
  24.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 25 Urto di un punto materiale su barretta libera 3434
  25.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 26 Urto di un punto materiale su barretta vincolata 3636
  26.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 27 Forza elettrostatica 3737
  27.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 28 Forza elettrostatica generata da 4 cariche uguali 3838
  28.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 29 Forza elettrostatica generata da 4 cariche a due a due uguali 3939
  29.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 30 Forza elettrostatica generata da 4 cariche 4040
  30.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 31 Campo elettrostatico generato da una bacchetta curva 4242
  31.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 32 Campo elettrostatico generato da una bacchetta rettilinea 4343
  32.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 33 Potenziale elettrostatico generato da una bacchetta rettilinea 4444
  33.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 34 Campo elettrostatico generato da una bacchetta rettilinea 4545
  34.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 35 Campo elettrostatico generato da un guscio sferico 4646
  35.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 36 Campo elettrostatico generato da un guscio cilindrico 4747
  36.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 37 Campo elettrostatico generato da una sfera conduttrice 4848
  37.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 38 Campo elettrostatico generato da una sfera piena 4949
  38.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 39 Campo elettrostatico generato da una sfera piena con densità 50 ρ(r) 50
  39.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 40 Potenziale elettrostatico generato da un guscio sferico 5151
  40.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 41 Potenziale elettrostatico generato da due conduttori sferici concentrici 5252
  41.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 42 Capacità di un condensatore sferico 5353
  42.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 43 Forza di Lorentz 5454
  43.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 44 Campo generato da più fili paralleli percorsi da corrente 5555
  44.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 45 Campo generato da più fili paralleli percorsi da corrente (2) 5757
  45.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 46 Campo generato da un filo percorso da corrente di forma assegnata 5858
  46.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 47 Campo generato da un filo percorso da corrente di forma assegnata 6060
  47.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 48 Spira che esce dal campo magnetico 6161
  48.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 49 Una bacchetta scorre su una guida conduttrice 6262
  49.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 50 Corrente variabile nel tempo 6363
  50.1 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Calcolo vettoriale

1 Prodotto scalare

Dati due vettori ~a = (a_x, a_y, a_z) e ~b = (b_x, b_y, b_z) quanto vale l’angolo tra le loro direzioni?

1.1 Svolgimento

Usiamo le proprietà del prodotto scalare tra due vettori. Il prodotto scalare tra due vettori è uno scalare, pari al prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo tra essi compreso:

~a · ~b = ab cos θ

dove θ è l’angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare si può calcolare anche in altro modo, facendo la somma dei prodotti delle componenti dei due vettori:

~a · ~b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Se mettiamo insieme le due equazioni si vede che, note le componenti dei due vettori è possibile calcolare il coseno dell’angolo tra essi, usando il prodotto scalare:

cos θ = (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) / ab

θ = arccos [(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) / ab]

2 Prodotto vettoriale

Dati due vettori ~a = (a_x, a_y, a_z) e ~b = (b_x, b_y, b_z) calcolarne il prodotto vettore.

2.1 Svolgimento

Il prodotto vettore tra due vettori è un vettore, la cui direzione è ortogonale al piano che contiene i due vettori che stiamo moltiplicando. Il modulo del prodotto vettore è dato dall’area del parallelogramma che ha per lati i due vettori ed è data da:

||~a × ~b|| = ab sin θ

È possibile calcolare il prodotto vettore usando il metodo matriciale: si calcola il determinante della matrice in cui alla prima riga mettiamo i versori della terna cartesiana, alla seconda mettiamo il primo termine del prodotto e alla terza riga il secondo termine del prodotto.

û_x û_y û_z

~a × ~b = a_x a_y a_z = (a_yb_z − a_zb_y)û_x + (a_zb_x − a_xb_z)û_y + (a_xb_y − a_yb_x)û_z

b_x b_y b_z 4

Cinematica del punto materiale

La sezione comprende una collezione di esercizi con svolgimento guidato, per diversi livelli di difficoltà. La cinematica del punto materiale studia il moto del punto, privo di dimensioni, dal punto di vista geometrico: conoscendo le caratteristiche del moto, quali accelerazione, velocità, spostamento, possiamo conoscere il cammino percorso dal punto nel suo moto. Le definizioni di accelerazione e velocità istantanee sono il punto di partenza. La velocità è la derivata dello spostamento, nel tempo:

d~r / dt = ~v(t) (1)

e l’accelerazione è la derivata della velocità:

d~v / dt = ~a(t) (2)

Nota la legge oraria è possibile ricavare la velocità e l’accelerazione, derivando rispetto al tempo. Viceversa, nota la accelerazione, risolvendo le equazioni differenziali, è possibile ricavare la velocità e trovare quindi la legge oraria ~r(t). Le equazioni scritte sono vettoriali, quindi, se il moto è nello spazio, avremo una equazione per ogni coordinata. Se il moto è unidimensionale e su una retta allora ~r(t) = x(t); se il moto è lungo una curva, di cui conosciamo l’equazione allora ~r(t) = s(t) · ŝ, dove con ŝ indichiamo il vettore tangente alla traiettoria nel punto considerato.

Applichiamo quanto detto a casi specifici. 5

3 Moto rettilineo uniforme

Un punto si muove lungo l’asse x con velocità costante, v = 0.4 m/s. La posizione iniziale è x₀ = –0.5 m. Scrivere la legge oraria, calcolare la posizione al tempo t = 5 s e lo spazio percorso nell’intervallo di tempo da t = 0 a t = 5 s.

3.1 Svolgimento

Il moto avviene con velocità costante, in modulo direzione e verso, pertanto trattasi di moto rettilineo uniforme. La legge oraria può essere ricavata integrando la velocità: dx/dt = v da cui dx = v · dt

∫_x0^x(t) dx = ∫₀^t v · dt → x(t) − x₀ = v · (t − 0)

Pertanto la legge oraria è data da x(t) = x₀ + v · t. La posizione al tempo t = 5 s è x(5) = x₀ + v · 5 = −0.5 m + 0.4 m/s · 5 s = 1.5 m. Lo spazio percorso nell’intervallo di tempo da t = 0 a t = 5 s è dato da

Δx = x(5) − x₀ = 1.5 m + 0.5 m = 2 m. 6

4 Moto rettilineo uniformemente accelerato

Un’automobile in moto con velocità v(0) = 120 km/h frena uniformemente fino a fermarsi; l’accelerazione vale a = –3.0 m/s². Calcolare il tempo di arresto t_a e lo spazio di arresto x_a.

4.1 Svolgimento

Il moto è decelerato ovvero è un moto accelerato con accelerazione negativa. Scriviamo l’equazione della velocità e la legge oraria, partendo dall’accelerazione e usando le condizioni iniziali:

d~v / dt = ~a(t)

da cui si ha che dv/dt = a da cui dv = a · dt

∫_v(0)^v(t) dv = ∫₀^t a · dt → v(t) − v₀ = a · (t − 0)

Il tempo di arresto è dato dalla condizione per cui si ha che v(t_STOP) = 0,

v(t_STOP) = v(0) + a · t_STOP = 0 → t_STOP = −v(0)/a = −120 · (10³ m/3600 s) / −3.0 m/s² = 11.1 s

Lo spazio di arresto è fornito dalla legge oraria, che può essere ricavata dalla definizione di velocità: dx/dt = v da cui dx = v(t) · dt con v(t) = v(0) + a · t

∫_x0^x(t) dx = ∫₀^t (v(0) + a · t) dt → x(t) − x₀ = v(0) · t + 1/2 a · t²

La legge oraria ci dice che lo spazio percorso dall’istante iniziale al tempo di arresto sarà:

x(t_STOP) − x₀ = v(0) · t_STOP + 1/2 a · t_STOP²

= v(0) · (−v(0)/a) + 1/2 a · (−v(0)/a)² = −v²(0)/a + 1/2 v²(0)/a = −1/2 v²(0)/a = −1/2 (120 · (10³ m/3600 s))² / −3.0 m/s² = 185 m 7

5 Moto verticale

Calcolare la profondità di un pozzo sapendo che il tempo tra l’istante in cui si lascia cadere un sasso, senza velocità iniziale, e quello in cui si ode il rumore, in conseguenza dell’urto del sasso con il fondo del pozzo, è t = 4.8 s. Si trascuri la resistenza dell’aria e si assuma la velocità del suono pari a 340 m/s.

5.1 Svolgimento

Il tempo che intercorre tra l’istante in cui si lascia cadere il sasso e si ode il tonfo è la somma del tempo di caduta del sasso più il tempo impiegato dal rumore a percorrere la distanza pari alla profondità del pozzo. Scegliamo il sistema di riferimento proposto in figura: Il sasso cade con moto rettilineo uniformemente

Figura 1: Un sasso cade nel pozzo da una altezza h e quando tocca il fondo produce un tonfo.

accelerato, nel sistema indicato in figura l’accelerazione è lungo l’asse y ed è negativa:

~a = −g û_y

La velocità sarà data dall’integrale dell’accelerazione e dato che il moto è rettilineo lungo l’asse y si ha che:

v_y = v_y(0) − g · t

e la legge oraria sarà data dall’integrale della velocità:

y(t) = y(0) + v_y(0)t − 1/2 g · t²

Poniamo le condizioni iniziali del moto: il corpo cade dalla quota incognita, h, e cade partendo con velocità nulla per cui la legge oraria diventa

y(t) = h − 1/2 g · t²

Il sasso impiegherà un tempo pari a t_fondo per toccare il fondo del pozzo, che corrisponde alla quota y(t_fondo) = 0, pertanto il sasso arriverà a produrre il rumore del tonfo dopo t_fondo = √(2h/g). Il suono si propaga a velocità costante, pertanto esso impiegherà un tempo pari a t_suono = h/v_suono. Chi ha lanciato il sasso sentirà il suono dopo t = 4.8 s che è la somma di due termini

4.8 s = t_fondo + t_suono = √(2h/g) + h/v_suono

risolviamo rispetto ad h

h/v_suono − t = √(2h/g)

h²/v_suono² + t² − 2th/v_suono = 2h/g

h²/v_suono² + t² − 2h(t/v_suono + 1/g) = 0

h² − 2h(tv_suono + v_suono²/g) + v_suono²t² = 0

da cui

h = +(tv_suono + v_suono²/g) ± √[(tv_suono + v_suono²/g)² − v_suono²t²]

h = +(4.8 s · 340 m/s + (340 m/s)²/9.8 m/s²) ± √[(4.8 s · 340 m/s + (340 m/s)²/9.8 m/s²)² − (340 m/s · 4.8 s)²]

= 1632 m + 11796 m ± √[(1632 m + 11796 m)² − 1632² m²] = 13428 ± √(180311184 − 2663424) = 13428 − 13328 = 99.5 m 8

6 Moto verticale 2

Un oggetto viene scagliato verticalmente verso il basso da un’altezza h = 40 m, con una velocità iniziale v₀ = 16 m/s. Calcolare: a) la velocità con cui arriva al suolo, b) il tempo impiegato.

6.1 Soluzione

Il corpo compie un moto verticale, dunque unidimensionale, con una velocità iniziale diversa da zero. La velocità in funzione del tempo e la legge oraria possono essere ricavate partendo dalla definizione delle grandezze fisiche:

~a = −g û_y

La velocità sarà data dall’integrale dell’accelerazione e dato che il moto è rettilineo lungo l’asse y si ha che:

v_y(t) = v_y(0) − g · t

e la legge oraria sarà data dall’integrale della velocità:

y(t) = y(0) + v_y(0) · t − 1/2 g · t²

Poniamo le condizioni iniziali del moto: il corpo cade dalla quota incognita, h, e cade partendo con velocità rivolta verso il basso, perché viene scagliato, con ~v(0) = −v₀ û_y, v₀ = 16 m/s, per cui la legge oraria diventa

y(t) = h − v₀ · t − 1/2 g · t²

Il corpo arriva al suolo quando y(t_suolo) = 0, che ci darà il tempo impiegato dal corpo a toccare il suolo:

h − v₀ · t − 1/2 g · t²