Esercizi esternalità, beni pubblici e monopolio naturale

Esercizio 1 - Esternalità

Una ditta che opera in concorrenza perfetta vende il suo prodotto ad un prezzo P = 12€.

La sua funzione di costo totale è data da CT(Q) = 1/2 Q².

Nella fase produttiva l'impresa emette dei fumi che provocano un danno al vicino. Il danno totale dipende dalle quantità prodotte ed è dato da D(Q) = 2Q.

"Individua la scelta ottima in termini sociali e di mercato"

In termini di mercato (Q^P)

In concorrenza perfetta sappiamo che: P = Dmg e la condizione di ottimalità è data da:

Cmg = 2mg → Riguarda tutti i mercati.

Cmg = 1 P = 12 → Cmg^P = Q → Rmg = Cmg → Q^P = 12 (→) (clemenza di Cmg^P).

In termini sociali (Q^S)

Cmg^S = Cmg^P + Dmg → dobbiamo intendere il danno e quindi dobbiamo portare l'impresa a ragionare in termini di costo mg sociale.

Cmg^S = Q + 2 → considerando che: il beneficio marginale coincide al ricavo marginale (= 12), la condizione di ottimalità è data da:

Dmg = Cmg^S.

Q^S = 10.

Se Q = 12 allora D(Q) = 24.

Se il mercato fosse monopolistico avremmo una funzione di domanda PI. Dovremmo ricavare la derivata marginale che ha pendenza doppia rispetto al P(Q).

Esercizio 1 - Esternalità

Una ditta che opera in concorrenza perfetta vende il suo prodotto ad un prezzo P = 12€.

La sua funzione di costo totale è data da CT(Q) = 1/2 Q².

Nella fase produttiva, l'impresa emette dei fumi che producono un danno al vicino. Il danno totale dipende dalle quantità prodotte ed è dato da: D(Q) = 2Q.

"Individua la scelta ottima in termini sociali e di mercato"

In termini di mercato (Q^p)

In concorrenza perfetta sappiamo che: P = Dmg e la condizione di ottimalità è data da:

Cmg = Dmg → Riguarda tutti i mercati.

Cmg = 1 ⟹ (P = 12 ⟹ P = Cmg) Cmg^p = Q (derivata di CT).

Q^p = 12.

In termini sociali (Q^S)

In termini sociali (Q^S) → Dovremo internalizzare il danno e quindi dovremo portare l’impresa a ragionare in termini di costo mg sociale.

Cmg^S = Cmg^p + Dmg ⟹ Cmg^S = (Q + 2) derivata di (CT + D).

Il beneficio marginale corrisponde al ricavo marginale (= 12).

La condizione di ottimalità è data da:

Dmg = Cmg^S.

Quindi: 12 = Q + 2 ⟹ Q^S = 10.

P_________12_____| /| / | / | / | / | / | / |/ |2______10____12 Q Dmg.

Se Q = 12, allora D'(Q) = 24.

Se il mercato fosse monopolistico, avremmo una funzione di domanda P(Q). Dovremmo ricavare il ricavo marginale che ha pendenza doppia rispetto al P(Q):

P_____________________| /| /| /| /| /| /| /| /| ////Pmg/Q.

Esercizio 2 - Beni pubblici

Abbiamo 3 individui: A, B, C la cui domanda per un bene pubblico è data da:

P_A = 6 - ¹/₄ Q.

P_B = 9 - ²/₃ Q.

P_C = 15 - ¹¹/₁₂ Q.

Queste sono le disponibilità marginali a pagare.

Impiegare questo bene ha un Cmg = 8.

"Individua la quantità ottima di bene pubblico"

1) Modello di Samuelson

La domanda aggregata del bene pubblico è data dalla somma delle disponibilità a pagare:

P(Q) = P_A + P_B + P_C -> P(Q) = 6 - ¹/₄ Q + 9 - ²/₃ Q + 15 - ¹¹/₁₂ Q.

P(Q) = 30 - ²²/₁₂ Q.

La quantità ottima è data da Cmg = Bmg → 30 - ²²/₁₂ Q = 8.

2) Modello di Lindhal

Per trovare T (quota di contribuzione) sostituisco Q* in ogni disponibilità a pagare:

P_A = 3 P_B = 1 P_C = 4 → Sommandole T ottengo 8, che corrisponde al Cmg, quindi il bene verrà prodotto.

Che succede se B è free rider? P_B = 0.

P_A + P_C = 6 - ¹/₄ Q + 15 - ¹¹/₁₂ Q → P(Q) = Cmg → Q* = 11.

La quantità ottima è minore rispetto a prima, e in termini di prezzo, il guadagno del free rider (che si trova il bene pubblico senza pagarlo) è dato da:

P_B = 9 - ²/₃ Q → guadagna → P_B = 9 - ²/₃ 11 → P_B = 1/6.

Esercizio 3 - Monopolio naturale

Abbiamo un'unica impresa che offre un servizio di pubblica utilità.

Ha una funzione di costo data da: CT = 12 + 2Q.

"Rappresenta graficamente il costo medio (CMe), il costo medio variabile (CMeV) e il costo marginale (Cmg)"

CMe = CT/Q CMeV = CV/Q → CMeV = 2.

Ipotizziamo di avere una funzione di domanda inversa data da:

P(Q) = 10 - Q.

Dato che l'impresa ragiona in termini monopolistici la quantità prodotta sarà QM e sarà venduta a un prezzo PM.

Soluzione del mercato

Dmg = Cmg → 10 - 2Q = 2, → QM = 4.

Soluzione socialmente ottima

P = Cmg → 10 - Q = 2 → Qs = 8.

In questo caso ci sarà una perdita di profitti:

Π(Q) = PQ - CT → Π(Q) = (2·8) - (12 + 2·8) → Π(Q) = -12.

Esercizio 4 - Esternalità

Abbiamo una funzione di domanda e una funzione di offerta che sono date da:

Q^D = 5 - 3P.

Q^S = 3 + 2P.

Supponiamo che ci siano delle esternalità negative date da: Cmg_S = 1/2 + 1/2Q.

"Determiniamo l'equilibrio nel mercato e l'equilibrio socialmente efficiente"

Equilibrio nel mercato

Per avere equilibrio nel mercato è necessario che Q^D = Q^S quindi:

5 - 3P = 3 + 2P → 5 = 3P + 3 + 2P → 5 = 5P + 3 → 2 = 5P.

P^* = 2/5 = 0.4 → P^* = 0.4.

Per trovare Q^* sostituisco per mezzo della funzione di domanda:

Q^* = 5 - (3 · 0.4) → Q^* = 3.8.

Equilibrio socialmente efficiente

In presenza di esternalità negative è necessario che Bmg_P = Cmg_S.

Per trovare Bmg_P calcolo la funzione di domanda inversa:

Q = 5 - 3P → 3P = 5 - Q → P(Q) = 5/3 - 1/3Q.

5/3 - 1/3Q = 1/2 + 1/2Q → 5/3 - 1/2 = 1/3Q + 1/2Q.

10/3 - 3/2 = 3Q/2 → Q^* = 7/5 = 1.4.

Per trovare P^* sostituisco Q^* in P(Q):

P(Q) = 5/3 - (1/3 · 1.4) → P^* = 1.2.

Esercizio 5 - Esternalità

P(Q) = 110 - 2Q _{(Cmgi = 10 + 2Q, Dmg = 20)}.

In termini di mercato

In concorrenza perfetta, P = Cmg_i e la condizione di ottimalità è data da Cmg_i = 2mg quindi:

Dmg = 10 - 2Q = 10 + 2Q -> 10 - 2Q = 10 + 2Q -> Q* = 25.

In termini sociali

Internalizzo il danno: Cmg_s = (Cmg_i + Dmg).

Cmg_s = 10 + 2Q + 20 -> Cmg_s = 30 - 2Q.

La condizione di ottimalità è Bmg = Cmg_s.

Entità totale del danno.

20 x 25 = 500.

110 - 20 = 30 - 2Q.

4Q = 120 : 30.

Q^*_s = 20.

Esercizio 6 - Monopolio naturale

Un'unica impresa ha una funzione di costo:

CT = 2000 + 2Q.

Ha una funzione di domanda data da P = 2000 - 1/2 Q.

Il costo marginale è Cmg = 2.

Cme = CT (1) -> 2000 + 2Q.

Cme _V = cv (2) -> 2 Q.

CT = {Q : 2] -> 3996 = QT -> Q_T = 7992.

CT = 5000 + (2 x 3996) -> CT = 9992.

Perdita = -2000.