Esercizi ed esami di Control Systems

Name: Esercizi ed esami di Control Systems
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Author: simone.43

Revisionato il 18/07/2026

di simone.43

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In questo file sono presenti esercizi su tutti gli argomenti del corso di control systems: stabilità asintotica, risposta in frequenza, diagrammi di Bode, diagrammi di Nyquist, criterio …

Esame Control Systems

Facoltà Ingegneria aeronautica e dello spazio

Dal corso del Prof. Battilotti Stefano

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2020-2021

127 pagine

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Esercitazione

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Estratto del documento

State and output response: time domain analysis

Example 4.4.1 (Battelotti)

A =

1	0	1
2	2	1
-2	2	0

x₀ =

-2

t=0 ⇒ calculate the zero input to state response

Calculate eigenvalues:

det(A - Iλ) =

1 - λ	0	1
2	2 - λ	1
-2	2	-λ

det(Iλ - A) =

λ	-1	0
-2	λ-2	-1
2	-2	λ

= (λ-2)[λ(λ-1)+2] - 4 + 2(λ-1) = (λ-1)[λ²+λ+2] - 4 - 2(λ-2) = λ³ + λ² + λ + λ - 2(λ³ - λ(λ² - 1)

λ₁: 0, λ₂: 1, λ₃: 1

Calculate eigenvectors:

(A - λI)z₁:

1	0	1
-2	2	1
2	2	0

= 0 ⇒ { z_2.1 + z_3.1 = 0, z_2.3 = z_2.1, z_2.4 = z_1.1, 2z_4.1 + 2z_1.2 = 0 }

{ z_2.3: z_3.3 = 1/3 }

⇒ equivalently I can write z₂:

-1

(A - λ₂I) z₂: 0 ⇒

0	0	1
-2	-2	-1
2	-1	1

= 0 ⇒ { z_2.3 = 0 } ⇒ {-2z_2.1 + z_3.2 = 0 } 2z_1.2 = z_2.1 z_3.3 = 5 ⇒ 2z_2.4 + z_2.2 z_3.3 = 0 }

{ z_1.3: 1/√3 }

(A - λ_2.1) z₃: 0 ⇒

2	0	1
3	0	1
2	1	1

{ z_3.4 = 0 }

{ z_3.4 = -1/2 }

{ z_3.3 = 0 }

{ z_3.3 = - }

⇒ equivalently z₂:

∃! C : Z = X₀∀t ⇒ Z(t) = C e^Λt where Z(t) = (z₁(t))(z₂(t))(z₃(t)) ⇒ C = Z₀ X₀ where

Z₀ =

1	1	1	\| 0
-1	2	1	\| 0
-1	-1	2	\| 0

⇒ Z₀ =

1	-1	-2	\|
-1	2	-2	\|
1

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