Esercizi d'esame Analisi matematica I

Esercizi tipo: funzione inversa

y = f(x) = e^x + arctg x

∃x = f^-1(y)? Df^-1, Cf^-1 = ?

Df^-1 = ?

d f^-1 (1)_{d y}

d f^-1 (e + π/2) = ?_{d y}

Df = ℝ f è continua in ℝ, f↑ in ℝ ⇒ ∃ f^-1(y)

Cf^-1 = Df = ℝ

Df^-1 = Cf → lim f(x), lim f(x) = (-π/2, +∞)_{x→+∞ x→-∞}

Df^-1 = Df = ℝ

∀x ∈ ℝ ⇒ f'(x) = e^x + _1/(1+x²)

Df^-1 = Df_f' = (-π/2, +∞)

∀y > π/2 ⇒ d f^-1(y) = 1_{d y f'(xo)} = 1/^{(ex+_(1/(1+xo2)))}

d f^-1 (1) ⇒ 1 = f(x)

1 = e^xo + arctg x_o → x_o = 0

1/1+1 - 1/2

Esercizi tipo: funzione inversa

y = f(x) = e^x + arctg x

∃x = f^-1(y)? Df^-1, Cf^-1 = ?

Df^-1 = ?

Cf^-1(1) = ?

d/dydf^-1(e + π/4)dg= ?

Df = ℝ ⇝ f è continua in ℝ, f in ℝ ⟹ ∃f^-1(y)

Cf^-1 = Df = ℝ

Df^-1 = Cf ⟶ lim x→∞ f(x), lim x→∞ f(x)=(-π/2, +∞)

Df^-1 = Df = ℝ

∀x ∈ ℝ ⟹ f' (x) = e^x + 1 / 1 + x²

Df^-1 = Df_f' = (-π/2, +∞)

∀y ≽ π/2 ⟹ df^-1 (y) = 1 /d / dg= f'(x₀) = 1 / e^x₀ + 1 / 1 + x₀²

d²fdg²(1) ⟹ 1 = f(x)

1 = e^x₀ + arctg x₀ ⟶ x₀ = 0

1 / 1 + 1 - 1 / 2

Stabilire il valore di α, se esiste, in cui la f è continua

Se α esiste calcolare l'insieme di derivabilità =

f(x) = {^√x2-2x-3/_(x³) + ln(-x) se x ∈ (-3,0) \ { -1}

α se x = -1

D_f = (-3,0)

Esplicito i moduli

x²-2x-3 = 0

1 ± √1+3 = 1±2 \ -1

{ √x²-2x-3 = { √x²-2x-3 se -3<x<-1

{ -√x²+2x+3 se -1<x<0

[ln(-x)]

ln(x)≥0 → x≥1 → x≤-1

{ln(-x) = { √ln(-x) se -3<x<-1

{-ln(-x) se -1<x<0

|x+1| = { x+1 se -1<x<0

{ -x-1 se -3<x<-1

f(x) = { √x²-2x-3 + ln(-x) se -3<x<-1

{ -x-1

α se x = -1

{ x² + 2x + 3 - ln(-x)

{ x+1 se -1<x<0

f è continua in D_f \ {-1} = -1 va verificato

f(-1) = lim_x→-1 f(x)

α = 5

Se α = 5, f è continua in Df. Ora studio la derivabilità, -1 è l'unico punto critico

D_f = D_f \ {-1} ∀ x ∈ Df \ {-1}, f'(x) = -^{x2 - 2x - 2 + 1/x + ln(-x)} / _(x+1)²

Verifico il limite in -1

lim_x→-1 f'(x)

⇒ uso de L'Hospital

⇒ lim_x→-1 f'(x) = -1/2 ⇒ derivabile in -1

D_f - D_f'

f'(-1) = 1/2

Determinare α e β in modo che la funzione sia derivabile

Quindi continua innanzitutto.

f(x) =       { 4αx+4Λ-x se x < -3

      { β se x ≥ -3

         7+2x Df = ℜ

Impongo la continuità di f

Nel punto -3 a sinistra

f(-3) = lim                f(x)

           x → -3

         1

           x → -3

β = limα -12α -2

      x → -3

f è continua in -3 solo se -12α - 2 = β

Impongo la derivabilità di f in -3

Df'∃ℜ\-3

∀x≠-3 f'(x)=    { 4α + 1 se x < -3

    {    -2α-x

lim f'(x)=lim f'(x)

    x → -3         x → +

  4α + 1/4       -2β

          x → -3

1, β = -12α-2

-2β = 4α + 1/

Risolvo il sistema

Studiare l'insieme di derivabilità di

f(x) = arctg√(x²+3