Esercizi Analisi 2

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di Chiar21

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Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Papalini Francesca

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

47 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Esercizio 1

f(x) = -x₂ + |x|x ∈ [-1, 1]x > 0

f(x) = -x + x

f(x) = -(-x₂ +1) + x | x |= f(x)

PAR f ∈ C(R) ⇒ f si scomponibile in serie di Fourier

b_k = 0 ∈ V k ∈ N

T = 2 ω = ^{2 π}⁄₂ = π

a₀ = ²⁄_T∫f(x) dx = ⟨∫f(x) dx = ∮₀∫f(x) dx= 2∫ ( - x² + x) dx = [ - ^x³⁄₃ + ^x²⁄₂ ]¹₀ = 2( - ¹⁄₃ + ¹⁄₂ ) = ¹⁄₃

a_k = ²⁄_T ∫ f(x) cos kωx dx = ¹⁄₁ ∫ f(x) cos kωx dx = 2 ∫¹₀ ( - x² + x) cos kπx dx

= 2 ∫ [ ( x² + x ) sen x^{| x} ]^kT - ( 2x + 1 ) sen x^{| x ]^kT dx}

= 2 ∫¹₀ [ ( - 2x +1 ) ^{cos kπx}⁄_kπ │ ^{2 x cos kπ}⁄_k²π² = [ ( - 2x + 1 ) cos kπx² + ²⁄_k²π²∫ cos kπx dx ]

= 2 ∫¹₀ [ ( 2x + 1 ) ^{cos kπx}⁄_k²π² + ²⁄_k²π²∫ cos kπx dx ]

= 2 ∫¹₀ [ - ( 2x + 1 ) ^{cos kπx}⁄_kπ + ²⁄_kπ² sen k ⁄ k = 2( -^{cos kπ}⁄_kπ + ¹⁄_k²π² )

= = 2( ^{-cos kπ}⁄_k²π² ] = 2( ^{cos kπ ⁄ x}⁄_k²π² = 2( - ^{cos kπ(⁄ k sub supers1)} = a

a_k = 2cos( kx - a ) = = g²( π² )⁄_(x^kπ²)= = ²⁄_π²∫ ( (4_k²+1 ) cos k²π )^x = ^∞⁄ π+*₂π∑ ¹⁄ k= ²⁄_π∫ [ (^{-2x_{1 +}+1^2k ) cos k sub ⁄ f( x ) ] ^{infinito E cos}}

Esercizio 1

f(x) = -x² + |x|x ∈ [-1, 1]x > 0

f(x) = -x² + x

f(-x) = -(-x)² + |-x| = f(x)

PAR f ∈ C(R) ⇒ Sviluppabile in serie di Fourier

b_k = 0 ∀ k ∈ N

T = 2 ω = ^2π/₂ = π

a₀ = ²/_T ∫f(x) dx = 1 ∫ f(x) dx = 2 ∫ f(x) dx

a₀= ²/_T ∫ f(x) dx = 2 ∫ (-x² + x) dx = [ x³/₃ + x²/₂] = 2 (-¹/₃ + ¹/₂) = -¹/₃ + ²/₃ = ¹/₃

a_k = ²/_T ∫ f(x) cos kωx dx = ¹ ∫ f(x) cos kωx dx = 2 ∫ (-x² + x) cos kπx dx

= 2 ∫ [(-x² + x) sen x²/kπ]_seukπ - (-2x +1) sen u/kπ] dx = 0

= 2 ∫ [((2x+1) ^{cos kπx}/_kπ² ) + ² cos kπx/_k²π] = 2 ∫ [ ^{cos kπx}/_kπ² - ^secx/_kπ dx = 0

= 2 ∫ [(2x+1) cos kπx/_kπ² + ² kπx/_kπ^,2 + ² ∫ cos kπx dx == 2 ∫ [(2x+1) cos kπx/_kπ² + ² _{cosk πx/k₂π²}] ( ^sinxπ/_kπ) - ^{cos kπx}/_kπ² dx = ²/_k²π ( ¹/_k₂π² kπx ) = = ²/_k²π₂ -²/_cos(kπx) 2( = ²/_kπ²)

= ²/_kπ² [-1(x² + 1 - ² = 0)= ²/_k²π² ( x+1)]

a_k= ²/_π ∑ ¹/_2k cos(2kπx) =-₆ ∑^{+^∞}_k=1 cos2kπxk²= -₆ ∑^{+^∞}_k=1 cos2kπx k²x = 0 ∑ 1 _ f( x ) cos t = 0k²-₆ ∑^k=1^-∞ pi² 1/6 ( -π²)x ≠ 0 2/6 pi²

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