Esercitazione su: Punti stazionari e Funzioni implicite (Analisi 2)

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 8

Analisi Matematica II

Punti stazionari, funzioni implicite

Punti stazionari

Esercizio 8.1

Ricercare e classificare i punti stazionari (o critici) delle seguenti funzioni:

• A) 3 2f (x, y) = x + xy + xy;1
• B) 2 2f (x, y) = xy(x + y 1);2
• C) ;4 2 2 2 2f (x, y) = x x y 2x + 2y3
• D) |xy|(xf (x, y) = + y 1);4
• E) 1 1 1f (x, y, z) = + + + xyz;5 x y z
• F) 2 3 2 2f (x, y) = x y x y x y + 1;6
• G) 2 2f (x, y) = x y + x 2y;7
• H) 2 2f (x, y) = log(1 + x y );8
• I) 2f (x, y) = xy y + 3;9
• K) 4 4 2f (x, y) = x y + 2(x y) + 15;11
• L) 2 2 2f (x, y) = x ((y 1) + x 1).12
• M) 2 2 2f (x, y) = x (y x y ).13
• N) 2f (x, y) = 7xy (y x).14
• O) .22 2 2 3f (x, y, z) = x + y + z z15 3 1

Funzioni implicite

Esercizio 8.2

Sia x+yf (x, y) = e + log(y) 1. Data l’equazione f (x, y) = 0, stabilire se è possibile esprimere in modo unico in funzione di in un intorno dely xpunto In caso affermativo, scrivere il polinomio di Taylor al secondo ordine( 1, 1).della funzione che esprime in funzione di intorno al puntoy x 1.

Esercizio 8.3

Sia f (x, y) = log(x + y) + y cos x 1. Data l’equazione f (x, y) = 0, stabilire se è possibile esprimere in modo unico in funzione di in un intorno dely xpunto In caso affermativo, scrivere il polinomio di Taylor al secondo ordine della(0, 1).funzione che esprime in funzione di intorno al puntoy x 0.

Esercizio 8.4

Sia 4f (x, y) = x + 4y + cos x cos y = 0. Stabilire se l’equazione f (x, y) = 0definisce implicitamente un’unica funzione in un intorno di In casoy = '(x) (0, 0).affermativo calcolare e0 00' (0) ' (0).

Esercizio 8.5

Determinare i punti a tangente orizzontale e i punti a tangente verticale della curva di equazione 4 2 2 3 24(x + x y ) 12x y + x = 0.

Esercizio 8.6

Sia 3 3f (x, y) = x + y 3xy. Determinare i valori per i quali l’equazioneR2x 0 f (x, y) = 0definisce implicitamente una funzione nell’intorno di con pery = '(x) x f (x , y ) = 00 0 0qualche R.2y 0

Esercizio 8.7

Sia x y 2 2f (x, y) = e + x y e(x + 1) + 1. Verificare che l’equazione f (x, y) = 0definisce implicitamente un’unica funzione in un intorno di cony = g(x) x = 0 g(0) =Dimostrare che è un punto di minimo locale per1. x = 0 g(x).2

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 8

Analisi Matematica II

Punti stazionari, funzioni implicite

Punti stazionari

Esercizio 8.1

Ricercare e classificare i punti stazionari (o critici) delle seguenti funzioni:

A) 3 2f (x, y) = x + xy + xy.1

Abbiamo @f @f1 12 2= 3x + y + y = x(2y + 1).@x @y

Per poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana della funzione. Le derivate parziali seconde sono:

2 2@ f @ f1 1= 6x = 2x2 2@x @y

2 2@ f @ f1 1(x, y) = (x, y) = 2y + 1,@y@x @x@y

per cui la matrice hessiana di nel punto èf (x, y)1 ! ✓ ◆2 2@ f @ f(x, y) (x, y)1 1 6x 2y + 12H @x @x@y(x, y) = = .f 2 2@ f @ f 2y + 1 2x1 (x, y) (x, y)1 12@y@x @y

Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che(x, y)⇢ 2 23x + y + y = 0x(2y + 1) = 0.

Dalla seconda equazione vediamo che i punti stazionari soddisfano o .1x = 0 y = 2

• Con nella prima equazione troviamo o Ci sono quindix = 0, y = 0 y = 1.due punti stazionari e SiccomeO(0, 0) A(0, 1). ✓ ◆0 1H (0, 0) = ,f 1 01la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto diO (0, 0)sella. Siccome ✓ ◆0 1H (0, 1) = ,f 1 01la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un puntoA (0, 1)di sella. 1
• Con , nella prima equazione troviamo Ci sono quindi1 142y = 3x = 0.⇣ ⌘ ⇣ ⌘2due punti stazionari e . Siccome1 12 1 12B , C ,p p2 3 2 3 p✓ ◆ ✓ ◆1 1 3 0H p , = ,f 101 p22 3 3 ⇣ ⌘la matrice hessiana è quindi definita negativa per cui il punto 1 1B ,p 22 3è un punto di massimo relativo. Siccome p✓ ◆ ✓ ◆1 1 3 0H p , = ,f 101 p22 3 3 ⇣ ⌘la matrice hessiana è quindi definita positiva per cui il punto è1 1C ,p 22 3un punto di minimo relativo.

B) 2 2f (x, y) = xy(x + y 1).2

Abbiamo @f @f2 22 2 2 2= y(3x + y 1) = x(x + 3y 1).@x @y

Per poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana della funzione. Le derivate parziali seconde sono:

2 2@ f @ f2 2= 6xy = 6xy2 2@x @y

2 2@ f @ f2 2 2 2(x, y) = (x, y) = 3x + 3y 1,@y@x @x@y

per cui la matrice hessiana di nel punto èf (x, y)2 ! ✓ ◆2 2@ f @ f 2 2(x, y) (x, y)2 2 6xy 3x + 3y 12H @x @x@y(x, y) = = .f 2 2 2 2@ f @ f 3x + 3y 1 6xy2 (x, y) (x, y)2 22@y@x @y

Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che(x, y)⇢ 2 2y(3x + y 1) = 02 2x(x + 3y 1) = 0.

Dalla prima equazione vediamo che i punti stazionari soddisfano o 2y = 0 3x +2y 1 = 0.

• Con nella seconda equazione vediamo che o Abbiamo±1.y = 0, x = 0 x =tre punti stazionari e SiccomeO(0, 0), A(1, 0) B( 1, 0).✓ ◆0 1H (0, 0) = ,f 1 02la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto diO (0, 0)sella. Siccome ✓ ◆0 2H (1, 0) = ,f 2 02la matrice hessiana è quindi indefinita per cui il punto è un punto diA (1, 0)sella. La matrice hessiana in è la stessa di quella in per cui il punto èB A Bun punto di sella.
• Con cioè , nella seconda equazione vediamo che2 2 2 23x + y 1 = 0, y = 1 3xper cui o . Se , viene e quindi1 12 142 2± ±x(2 8x ) = 0 x = 0 x = x = y =2ci sono quattro punti stazionari di coordinate . Invece con12 12± ±, x = 0,viene ovvero Abbiamo quindi due ulteriori punti stazionari2 ±1.y = 1 y =e La matrice hessiana in e stessa di quella in perC(0, 1) D(0, 1). C D Acui i punti e sono punti di sella. SiccomeC D ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆3 11 1 1 1H H 2 2, = , = ,f f 1 32 22 2 2 2 2 2le matrici hessiane sono quindi definite positive per cui i punti di coordinatesono punti di minimo relativo. Siccome12 12± , ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆3 11 1 1 1H H 2 2, = , = ,f f 1 32 22 2 2 2 2 2le matrici hessiane sono quindi definite negative per cui i punti di coordinatesono punti di massimo relativo.1 1± ,2 2

Si può osservare che dal segno di si poteva dedurre la natura dei punti criti-f 2ci. Infatti, all’esterno del disco unitario la funzione è positiva nei primo e terzo quadrante, e negativa negli altri due; nel disco è il contrario. Da questo si deduce che i punti stazionari sugli assi sono punti di sella. Guardando il quarto di disco> > 6 per il teorema di Weierstrass esiste un2 2{(x, |Q = y) x 0, y 0, x + y 1},Imassimo e un minimo; sul bordo di la funzione è nulla mentre nell’interno èQ Ipositiva; quindi il minimo è sul bordo e il massimo all’interno ed è quindi un puntostazionario; siccome all’interno l’unico punto stazionario è il punto di coordinate, questo è un punto di massimo relativo.1 1,2 2

Si può ragionare nello stesso modo nei tre altri quarti di disco.3

C) .4 2 2 2 2f (x, y) = x x y 2x + 2y3

Abbiamo @f @f3 32 2 2= 2x(2x y 2) = 2y(2 x ).@x @y

Per poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessiana della funzione. Le derivate parziali seconde sono:

2 2@ f @ f3 32 2 2= 12x 2y 4 = 2x + 42 2@x @y

2 2@ f @ f3 3(x, y) = (x, y) = 4xy,@y@x @x@y

per cui la matrice hessiana di nel punto èf (x, y)3 ! ✓ ◆2 2@ f @ f 2 2(x, y) (x, y)3 3 12x 2y 4 4xy2H @x @x@y(x, y) = = .f 2 2 2@ f @ f 4xy 2x + 43 (x, y) (x, y)3 32@y@x @y

Dalle derivate prime, i punti stazionari sono i punti tali che(x, y)⇢ 2 22x(2x y 2) = 022y(2 x ) = 0.

Dalla seconda equazione vediamo che i punti stazionari soddisfano oy = 0 x =p± 2.

• Se dalla prima equazione vediamo che o Abbiamo±1.y = 0, x = 0 x =quindi tre punti stazionari e SiccomeO(0, 0), A(1, 0) B( 1, 0).✓ ◆4 0H (0, 0) = ,f 0 43la matrice hessiana è quindi 0 per cui il punto è un punto di indefini-O (0, 0)ta.sella Siccome ✓ ◆8 0H (1, 0) = ,f 0 23la matrice hessiana è quindi 0 per cui il punto è un punto di definitaA (1, 0)positiva.minimo relativo La matrice hessiana in è la stessa di quella inB Aper cui il punto è un punto di minimo relativo.Bp p
• Se dalla prima equazione vediamo che Abbiamo quindi± ±x = 2, y = 2.p pquattro punti stazionari di coordinate Siccome±(± 2, 2).✓ ◆⇣ ⌘ ⇣ ⌘p p p p 16 8H H2, 2 = 2, 2 = ,f f 8 03 34le matrici hessiane sono quindi indefinite per cui i due punti di coordinatep p sono punti di sella. Siccome± 2, 2 ✓ ◆⇣ ⌘ ⇣ ⌘p p p p 16 8H H2, 2 = 2, 2 = ,f f 8 03 3le matrici hessiane sono quindi indefinite per cui i due punti di coordinatep p sono punti di sella.± 2, 2

D) |xy|(xf (x, y) = + y 1).4

A causa del valore assoluto, suddividiamo il piano in varie regioni.

• Se cioè nel primo e terzo quadrante, alloraxy > 0, f (x, y) = xy(x + y 1).4Abbiamo @f @f4 4= y(2x + y 1) = x(x + 2y 1).@x @yPer poter capire la natura dei punti stazionari, calcoliamo la matrice hessianadella funzione. Le derivate parziali seconde sono:2 2@ f @ f4 4= 2y = 2x2 2@x @y2 2@ f @ f4 4(x, y) = (x, y) = 2x + 2y 1,@y@