Esercitazione su: Insiemi e Derivate parziali (Analisi 2)

Università di Bergamo, anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria, Foglio 5

Analisi Matematica II

Topologia, derivabilità di funzioni di due variabili

Topologia di R²

Facciamo una piccola osservazione che ci semplificherà la vita per ricercare i punti interni e i punti di frontiera degli insiemi. Sia un insieme di cui si cercano punti D interni e punti di frontiera. Supponiamo di disporre di un insieme chiuso [C = I F con aperto, costituito di punti di frontiera di e Allora ✓ ✓ [I F D I D I F = C.

È l’insieme dei punti aperti di e l’insieme dei suoi punti di frontiera. Infatti gli I D F elementi di sono punti interni a il complementare di contiene punti 0 [I D, C C = I F esterni, perché è aperto e contenuto nel complementare di contiene solo punti 0C D), F di frontiera e quindi tutti i punti sono stati classificati.

R0 n[ [I F C =

Quindi dato ci basta trovare un aperto e un insieme di punti di frontiera ✓D, I D F tale che sia chiuso. [C = I F

Esercizio 5.1

Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni, disegnarlo su un piano cartesiano e stabilire se esso è aperto, chiuso, compatto, connesso e quali sono i punti interni e i punti di frontiera.

• A) 4 2 2 f (x, y) = y (x y );1
• B) ;p f (x, y) =2 2 2 x xy 2y
• C) ;2 2 f (x, y) = x 1 x y3 ⇥ ⇤
• D) ;2 3 f (x, y) = log (y x )(y x )4
• E) ;2 2 x+y f (x, y) = log(4 x y ) + e + (y x 2) 45 xy
• F) ;p f (x, y) =6 1 + xy 1
• G) ;p 2y x + 1 f (x, y) =7 y x +1
• H) 2 f (x, y) = log(2y log(x 1));8
• I) x 2 f (x, y) = log((y e )(x y + 2));9
• J) 1p ;2 f (x, y) = log(2x y + 1) + y x10
• K) p p 2 2 2 f (x, y) = log(x 9y ) log(x 1);11
• L) p 24 y x + 4 ; f (x, y) =12 y x +2
• M) p 2 2 2 f (x, y) = (x y + 1)(x 1);13
• N) ; x 2 f (x, y) = log (y e )(x y + 1)14
• O) arccos(y x) ;p f (x, y) =15 2 24 x 4y
• P) ✓ ◆ 1/41 ; f (x, y) = 116 xy2 2arcsin(x + y 2) + 2
• Q) .p f (x, y) = p17 x y x

Derivate parziali di funzioni di due variabili

Esercizio 5.2

Calcolare le derivate parziali e il gradiente delle seguenti funzioni, precisando il dominio della funzione e il dominio di validità del gradiente.

Per la funzione esponenziale , si considererà che il suo dominio è u {(t, |t u) t > 0}, ignorando quindi i casi speciali quando è razionale. u

• A) 4 2 2 g (x, y) = y (x y );1
• B) p 24 y x + 4 ; g (x, y) =2 y x +2
• C) p 2 2 2 g (x, y) = (x y + 1)(x 1);3
• D) ✓ ◆2x y ; g (x, y) = log4 x + 3y
• F) ⇣ ⌘y ; g (x, y) = arctan6 x
• G) ; x 2 g (x, y) = log (y e )(x y + 1)7
• H) log(arctan(2 x y)) ;p g (x, y) =8 2x 1
• I) arccos(y x) ;p g (x, y) =9 2 24 x 4y
• J) 2 2 g (x, y) = log(sin(⇡(x + y )));10
• K) ✓ ◆ 1/41 ; g (x, y) = 111 xy
• L) ; y g (x, y) = x12
• M) 2 g (x, y) = min(x, y );13
• N) 2 ; xy g (x, y) = x sin(xy) + e14
• O) 2 g (x, y) = x log(xy );15
• P) ✓ ◆ ⇣ ⌘x y ; g (x, y) = cos + cos16 y x
• Q) ; y g (x, y) = sin(x + y) + xe17
• R) ; x y g (x, y) = (x + y)e18
• S) ✓ ◆x ; g (x, y) = arctan19 y
• T) g (x, y) = log(x log y);20
• U) p ;3 2 g (x, y) = xy21
• V) p ; x sin y g (x, y) = e22
• W) ✓ ◆x + 2y ; g (x, y) = log23 x 3y
• X) 2 . x z g (x, y, z) = xyz sin xz + ye24

Esercizio 5.3

Applicando la definizione, calcolare, se esistono, le derivate parziali e delle seguenti funzioni: @f @f(0, 0) (0, 0)@x @y

• A) ;2 2 f (x, y) = x + y8
• B) ⇣ ⌘p2 24y x< se2 2 6arctan y x + y (x, y) = (0, 0)b) 2 2f (x, y) = x + 4y: se0 (x, y) = (0, 0).

Università di Bergamo, anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria, Foglio 5

Analisi Matematica II

Topologia, derivabilità di funzioni di due variabili

Queste soluzioni sono state scritte in condizioni pessime. La massima cautela è raccomandata durante l’uso.

Topologia di R²

Facciamo una piccola osservazione che ci semplificherà la vita per ricercare i punti interni e i punti di frontiera degli insiemi. Sia un insieme di cui si cercano punti D interni e punti di frontiera. Supponiamo di disporre di un insieme chiuso [C = I F con aperto, costituito di punti di frontiera di e Allora ✓ ✓ [I F D I D I F = C.

È l’insieme dei punti aperti di e l’insieme dei suoi punti di frontiera. Infatti gli I D F elementi di sono punti interni a il complementare di contiene punti 0 [I D, C C = I F esterni, perché è aperto e contenuto nel complementare di contiene solo punti 0C D), F di frontiera e quindi tutti i punti sono stati classificati.

R0 n[ [I F C =

Quindi dato ci basta trovare un aperto e un insieme di punti di frontiera ✓D, I D F tale che sia chiuso. [C = I F

Esercizio 5.1

Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni, disegnarlo su un piano cartesiano e stabilire se esso è aperto, chiuso, compatto, connesso e quali sono i punti interni e i punti di frontiera.

A) 4 2 2 f (x, y) = y (x y ).1

Le condizioni da verificare sono che l’argomento della radice quarta deve essere maggiore o uguale a Quindi il dominio è 0. >2 2{(x, |D = y) y (x y ) 0}.

Possiamo osservare fin da subito che il dominio è chiuso perché la funzione 2 2f (x, y) = y (x y ) è continua. Per capire qual è il dominio, osserviamo che il polinomio è un f (x, y) prodotto. Il primo termine è sempre maggiore o uguale a Il secondo è maggiore 0.> o uguale a quando , cioè il punto sta a destra della parabola di equazione 2 P0 x y. Teniamo presente che quando il prodotto è nullo, quindi il segno di 2x = y y = 0, è irrilevante. 2x y

Graficamente, è la parte segnata, in rosso la parabola e in blu la parte dell’asse P D da aggiungere:x

11. y P1 x0.5 1 1.5 2 2.51

Il dominio non è aperto perché l’origine è in e qualsiasi disco di raggio positivo D centrato nell’origine conterrà dei punti di coordinate con e tali punti ( ", ") " > 0 non sono nel dominio.

Il dominio è chiuso ma non limitato perché tutti i punti con stanno nel y = 0 dominio e hanno la prima coordinata non limitata.

Il dominio è connesso perché se si considera un punto di coordinate questo (x, y), punto essere collegato al punto di coordinate tramite il segmento (x, 0) r(t) = e tutti i punti dell’asse possono essere collegati fra di loro 2(x, ty), t [0, 1] x tramite un ulteriore segmento. Con al massimo due segmenti si possono quindi collegare due punti del dominio.

Sia 2{(x, | }.U = y) x > y

È aperto perché la funzione è continua. L’insieme è 27!(x, y) x y F = C\U6 costituito dalla parabola e del semiasse I punti della parabola P {(x, |0) x 0}. sono punti di frontiera perché ogni disco aperto centrato in contiene un 2(y , y) punto con che sta fuori di e ogni punto del semiasse è pure di 2(y ", y) " > 0 C frontiera perché ogni disco aperto centrato in contiene un punto con (x, 0) (x, ") che sta fuori di Quindi è l’insieme dei punti interni di e l’insieme " > 0 C. U C F dei suoi punti di frontiera.

B) 1b) .p f (x, y) =2 2 2x xy 2y

Le condizioni da verificare sono che l’argomento della radice quadrata deve essere maggiore o uguale a e il denominatore non nullo, questo si può riassumere 0 2 nella condizione che l’argomento della radice quadrata deve essere strettamente positivo. Quindi il dominio è 2 2{(x, |D = y) x xy 2y > 0}.

Possiamo osservare fin da subito che il dominio è aperto.