Esercitazione su: Derivabilità e Differenziabilità (Analisi 2)

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 6

Analisi Matematica II

Derivate parziali e differenziabilità di funzioni di più variabili

Esercizio 6.1

Calcolare le derivate parziali e il gradiente delle seguenti funzioni, precisando il dominio della funzione e il dominio di validità del gradiente.

Per la funzione esponenziale, si considererà che il suo dominio è u {(t, |t u) t > 0}, ignorando quindi i casi speciali quando è razionale. up

• A) 2 2a(x, y, z) = x y z; z
• B) .(y )b(x, y, z) = (x + z)

Esercizio 6.2

Sia data la funzione

( 2x y 6(x, y) = (0, 0)6 2x +yf (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0)

• A) Stabilire se è continua sul suo campo di esistenza. f
• B) Determinare le derivate parziali di in con 6f (x, y), (x, y) = (0, 0).
• C) Determinare (se esistono) le derivate parziali di inf (0, 0).
• D) Determinare (se esiste) la derivata direzionale di in lungo il versoref (0, 0) v =⇣ ⌘p .31 ,2 2
• E) È differenziabile inf (0, 0)?

Esercizio 6.3

Studiare la continuità, l’esistenza delle derivate parziali e la differenziabilità per le funzioni seguenti:

• A) ;2 2f (x, y) = x + y1
• B) ( 3 2 sex 2xy 6(x, y) = (0, 0)b) 2 2x +2yf (x, y) =2 se0 (x, y) = (0, 0);

Determinare inoltre (se esiste) la derivata direzionale di lungo Valef v = (1, 1).2la formula del gradiente?

• C) 1( sexyp 6(x, y) = (0, 0)c) 2 2x +2yf (x, y) =3 se0 (x, y) = (0, 0);
• D) ( 3 3 se3x y 6(x, y) = (0, 0)d) 2 2x +yf (x, y) =4 se0 (x, y) = (0, 0);

Determinare inoltre (se esistono) le derivate direzionali di lungo i vettorif u =p p 4e3 3(1, 3) v = (1, 3).

• E) ( 2 4 sex y 6(x, y) = (0, 0)4 2 2e) (x +3y )f (x, y) =5 se0 (x, y) = (0, 0);
• F) ( 2 6 sex y 6(x, y) = (0, 0)2 4 2f) (x +3y )f (x, y) =6 se0 (x, y) = (0, 0);
• G) ⇣ ⌘( p2 2 se4y x 2 2 6arctan y x + y (x, y) = (0, 0)2 2g) x +4yf (x, y) =7 se0 (x, y) = (0, 0).

Esercizio 6.4

Calcolare nei seguenti casi: D f (P )v 0 ✓ ◆

• A) 1 2a) , ;x y p pf (x, y) = (x + y)e P (0, 0), v = ,0 5 5p
• B) generico.23f (x, y) = x y, P (0, 0), v = (a, b)0

Cosa si può concludere sulla differenziabilità in ?P 0

Esercizio 6.5

Sia definita da R R2 !f :

( sey 6arctan x = 0xf (x, y) = se3 ⇡ x = 02⇣ ⌘e sia . Stabilire se esistono le derivate parziali di in e la derivata1 1v = , f (0, 0)p p2 2direzionale e in caso affermativo calcolarle.D f (0, 0)v

Esercizio 6.6

Sia definita da R R2 !f :

( 2 2x +y +x 6(x, y) = (0, 0)2 2x +yf (x, y) = 1 (x, y) = (0, 0)

Stabilire se

• A) È continua su ;R 2f 2
• B) Esistono direzioni lungo le quali esiste la derivata direzionale e per taliv D f (0, 0)vdirezioni calcolare tale derivata;
• C) È differenziabile inf (0, 0).

Esercizio 6.7

Sia data la funzione:

( sesin y 6x = 0xf (x, y) = se0 x = 0

Determinare (se esistono) le derivate parziali di in e in con è6f (0, y) (x, y) x = 0.fcontinua in e in (se esiste) la derivata direzionale di nel(0, 0) (0, ⇡)?Determinare fpunto lungo il vettore⇡P 1, v = (1, 1).2

Esercizio 6.8

Sia data la funzione:

( 2 sex 6(x, y) = (0, 0)3 3|x| +|y|f (x, y) = se0 (x, y) = (0, 0).

Determinare (se esistono) le derivate parziali di in e in 6f (x, y) = (0, 0) (x, y) = (0, 0).

Esercizio 6.9

Sia

( 2 sey 6x = 0xf (x, y) = se0 x = 0. ⇣ ⌘

Determinare il gradiente di in e ove .Cosa è possibile1 1f (0, 0) D f (0, 0) v = ,p pv 2 2dedurre sulla differenziabilità di in possibile dedurre qualcosa sulla continuitàf (0, 0)?Èdi in se la funzione è continua inf (0, 0)?Determinare f (0, 0).

Esercizio 6.10

Sia data la funzione

|xf (x, y) = y|(x + y)

Stabilire se ammette le derivate parziali nei punti ef O(0, 0), A(1, 1) B(2, 3).Stabilire se è differenziabile in e inf A B.

Esercizio 6.11

p3Si consideri la funzione . Si stabilisca se è differenziabile-x 1Esercizio 6.11. 3f (x, y) = y fxziabile nel punto In caso di risposta affermativa, si determini un’equazione delP (1, 0).piano tangente al grafico di nel punto di coordinatef (1, 0, f (1, 0)).3

Esercizio 6.12

Verificare la differenziabilità della funzione

p2x y 2 2f (x, y) = e + 3 + x + 3y

nel punto un’equazione del piano tangente.Calcolare essendoP (1, 2).Scrivere D f (P ),p0 v 0il versore della retta di equazione orientata nel verso delle decrescenti.v y = 3x x

Esercizio 6.13

Calcolare la derivata della funzione nel puntoEsercizio 6.13. 2 2f (x, y) = log(x + y )lungo il gradiente di . Giustificare senza fare calcoli che esiste il piano tangente P (3, 4) fal grafico di nel punto e successivamente determinare un’equazione dif (3, 4, f (3, 4))tale piano.

Esercizio 6.14

Data la funzione

p 2 x 2f (x, y) = 2 + y + x e , ptrovare un’equazione del piano tangente al suo grafico nel punto e la sua(2, 0, 4 + 2)⇣ ⌘p1derivata direzionale nel punto lungo il versore .(2, 0) v = 1, 2 23

Esercizio 6.15

Studiare al variare di continuità, derivabilità e differenziabilitàEsercizio 6.15. ↵ > 0in di(0, 0) ⇣ ⌘p↵|x| |xy|f (x, y) = log 1 + .↵ 2 2x y

Esercizio 6.16

Verificare la formula del gradiente per la funzioneEsercizio 6.16. f (x, y) = +9 4nel punto P (9, 2).0

Esercizio 6.17

Calcolare la derivata della funzione doveEsercizio 6.17. g(t) = f (r(t)), f (x, y) =e tx y sin x r(t) = (e , sin t).

Esercizio 6.18

(Ripasso) CalcolareEsercizio 6.18.

• A)  3 5x ya) lim sin(xy) 2 2 2(x + y )(x,y)!(0,0) x
• B) lim 2 2log(x + y )(x,y)!(0,0) 4

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 6

Analisi Matematica II

Derivate parziali e differenziabilità di funzioni di più variabili

Esercizio 6.1

Calcolare le derivate parziali e il gradiente delle seguenti funzioni, precisandoil dominio della funzione e il dominio di validità del gradiente.

Nelle soluzioni, non è indicato il gradiente. Per una funzione il gradienter(x, y, z),

✓ ◆@r @r @rrr(x, y, z) = (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z)@x @y @z

per cui basta conoscere le derivate parziali.

Per la funzione esponenziale, si considererà che il suo dominio è ignorandou {(t, |t u) t > 0},quindi i casi speciali quando è razionale.up

• A) p2 2a) a(x, y, z) = x y z.

p@a 2(x, y, z) = 2 x y z@x

p@a 2(x, y, z) = 2 x y z@y

2 2@a x yp(x, y, z) =@z 2 z

>0 0 {(x, |D = D = D = y, z) z 0}x y0 {(x, |D = y, z) z > 0}.zz

• B) (y )b) .b(x, y, z) = (x + z)

@b zy 1z(x, y, z) = y (x + z)@x

@b zyz 1(x, y, z) = y z (x + z) log (x + z)@y

@b zy 1z(x, y, z) = y (x + z) ((x + z) (log y) log (x + z) + 1)@z

0 0 0 {(x, | ^D = D = D = D = y, z) y > 0 x + z > 0}.x y z 1

Esercizio 6.2

Sia data la funzione

( 2x y 6(x, y) = (0, 0)6 2x +yf (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0)

• A) Stabilire se è continua sul suo campo di esistenza.f

Il campo di esistenza di è . Infatti su è definitaR 2 {(x, | 6f D = y) (x, y) = (0, 0)}0da una frazione algebrica con denominatore non nullo e in è definita da un(0, 0)valore dato.

Su è continua per i teoremi generali. In dobbiamo stabilireD (0, 0)0il limite.

2 3Facendo , vediamo che per cui il limite non esiste.·xx 13 3y = x f (x, x ) = =6 6x +x 2x

Perciò la funzione non è continua in (0, 0).

• B) Determinare le derivate parziali di in con 6f (x, y), (x, y) = (0, 0).

Possiamo usare le formule perché in un intorno del punto la funzione è(x, y)definita da una frazione algebrica. Abbiamo

6 2 2 5 2 6@f 2xy(x + y ) 6x yx 2xy(y 2x )(x, y) = =6 2 2 6 2 2@x (x + y ) (x + y )

2 6 2 2 2 6 2@f x (x + y ) 2x yy x (x y )(x, y) = = .6 2 2 6 2 2@y (x + y ) (x + y )

• C) Determinare (se esistono) le derivate parziali di inf (0, 0).

In dobbiamo usare i limiti dei rapporti incrementali. Il fatto che non sia(0, 0) fcontinua in non basta per avere informazioni sulle derivate parziali perché la0continuità vede come funzione di due variabili mentre le derivate parziali vedonofcome due funzioni di una variabile.f

Abbiamo, per 6h = 0,

@fper cuif (h, 0) = 0 (0, 0) = 0@x

@fper cuif (0, h) = 0 (0, 0