Esercitazione 6 Principi di Ingegneria Chimica e di processo

Esercitazione 6

Esercizio 1

Il cuore (nocciolo) di un reattore nucleare è formato da barre cilindriche di combustibile nucleare di lunghezza L=3 m e diametro D=15 cm. In condizioni stazionarie, la reazione di fissione nucleare che avviene all'interno delle barre produce una potenza termica per unità di volume p= 1.3 MW/m³. Il calore prodotto viene asportato da un complesso sistema di raffreddamento mantenendo così il reattore in condizioni di raffreddamento ottimali.

A causa di un incidente, il sistema di raffreddamento viene messo parzialmente fuori uso, con il rischio che al centro della barra di combustibile, la cui conducibilità termica è k= 2.8 W/(m·K), si raggiunga la sua temperatura di fusione (T_f = 2000°C), con conseguenze catastrofiche.

In tali condizioni, ipotizzando il mantenimento del regime stazionario, si calcolino:

• La potenza massima complessiva P (W) prodotta da ciascuna barra di combustibile nucleare;
• La massima temperatura T_s,max da mantenere sulla superficie della barra, al fine di evitare il rischio di fusione nel nocciolo.

Esercizio 2

Determinare la distribuzione di temperatura in un fluido Newtoniano incomprimibile compreso tra due cilindri coassiali disposti verticalmente, uno dei quali, quello esterno, posto in rotazione con elevata velocità angolare. Il cilindro esterno, di raggio R₁, si trovi alla temperatura T₁ mentre quello interno, di raggio R₂, venga mantenuto a T₂. Si consideri il moto del fluido in regime laminare, in condizioni stazionarie e si tenga in conto del contributo dovuto alle dissipazioni viscose.

N.B. Le dimensioni R₁ e R₂ siano generiche per cui si operi in ordinate cilindriche.

Figura 6.2.1. Schematizzazione della geometria del sistema

Esercizio 1

Il cuore (nocciolo) di un reattore nucleare è formato da barre cilindriche di combustibile nucleare di lunghezza L=3 m e diametro D=15 cm. In condizioni stazionarie, la reazione di fissione nucleare che avviene all'interno delle barre produce una potenza termica per unità di volume p= 1.3 MW/m³. Il calore prodotto viene asportato da un complesso sistema di raffreddamento mantenendo così il reattore in condizioni di raffreddamento ottimali.

A causa di un incidente, il sistema di raffreddamento viene messo parzialmente fuori uso, con il rischio che al centro della barra di combustibile, la cui conducibilità termica è k= 2.8 W/(m·K), si raggiunga la sua temperatura di fusione (T_f = 2000°C), con conseguenze catastrofiche.

In tali condizioni, ipotizzando il mantenimento del regime stazionario, si calcolino:

• La potenza massima complessiva P (W) prodotta da ciascuna barra di combustibile nucleare;
• La massima temperatura T_s,max da mantenere sulla superficie della barra, al fine di evitare il rischio di fusione nel nocciolo.

Schematizziamo il nostro problema

Dati:

• L = 3 m
• D = 15 cm
• p = 1.3 MW/m³
• k = 2.8 W/(m·K)
• T_f = 2000 °C

Ipotizzando che possiamo trascurare gli effetti di estremità e considerare che lo scambio termico avvenga solo in direzione radiale e non anche in direzione assiale. Questa ovviamente è una condizione che dobbiamo cercare di rispettare in modo da poter risolvere in maniera accurata il suddetto problema.

Figura 6.1.1. Schematizzazione della geometria del sistema e del volumetto di controllo considerato

Il volumetto di controllo risulterà essere un elementino di volume compreso tra r e r + Δr e come altezza ha l'altezza L del cilindro. L'equazione di bilancio sarà:

q_in - q_out + pΔV = 0  (6.1.1)

[q] |_r | + Δr: superficie su cui insiste il flusso

[p]ΔV: volumetto in cui la potenza p viene generata

Il bilancio è stato scritto in condizioni di stazionarietà e non ci sono scambi di energia che non siano conduttivi, infatti abbiamo degli scambi che stanno avvenendo all'interno di un solido.

Esplicitando i vari termini:

q_in - 2πrkT + 2π(r+Δr)k(T+ΔT) + p2πrΔrL = 0  (6.1.2)

[q] |_r | + Δr

p2πrΔrL: quantità di energia che viene generata all'interno del nostro volume di controllo.

2πrΔrL → 0: A questo punto semplifichiamo (costante), dividiamo per L e facciamo il limite

d/dr (rT) = -p/(2πk)  (6.1.3)

Se riteniamo costante la conducibilità termica possiamo portarla fuori dal differenziale e riscrivere la precedente relazione come:

dT/dr = -p/(2πkr)  (6.1.4)

La conducibilità termica rigorosamente parlando dipende dalla temperatura, la portiamo fuori nel momento in cui non c'è una grossa variazione di questa proprietà di trasporto o se andiamo a considerare un opportuno valore medio della stessa.

Questa equazione differenziale andrà accoppiata alle opportune condizioni ai limiti:

Per questioni di simmetria ad r=0 deve essere presente un punto di massimo o di minimo, quindi la derivata prima della temperatura deve annullarsi. Laddove q_gen=0; q_cond=0 si ha la produzione di energia si ha un punto di massimo.

A r=R la temperatura sarà quella incognita, cioè la temperatura che si può avere T = T_s; q_cond = q_gen sulla superficie del condotto, è la nostra incognita. Questa è la temperatura che dobbiamo ricavare per scongiurare che sull'asse della barra si manifesti la fusione del nocciolo nucleare.

Integrando l'equazione otteniamo:

2πk d/dr (rT) = -p  (6.1.5)

= -p/2πk + C₁/r

2πk dT/dr = 0 → ∞, invece di applicare la prima condizione al contorno avremo anche potuto dire che per r → ∞ il che non ha senso dal punto di vista fisico, pertanto l'unico modo per cui ciò non accada è che C₁ sia nullo.

Qualsiasi strada avessimo preso saremmo arrivati alla conclusione che:

C₁ = 0  (6.1.7)

Da cui:

T(r) = -p/(4πk) r² + C₂  (6.1.8)

Integrando nuovamente:

T(r) = -p/(4πk) r² + C₂  (6.1.9)

Applicando la seconda delle condizioni ai limiti troviamo:

T(R) = -p/(4πk) R² + C₂  (6.1.10)

Da cui:

C₂ = T_s + p/(4πk) R²  (6.1.11)

Il profilo di temperatura risulterà essere dato da:

Profilo di Temperatura all'interno della barra cilindrica in cui avviene la reazione nucleare:

T(r) = T_s + [p/(4πk)](R² - r²)  (6.1.12)

È la temperatura che c'è sulla superficie della barra, ci dà dicendo semplicemente che ci ritroveremo con un profilo di temperatura che avrà un profilo parabolico e che in generale può essere schematizzato come: Figura 6.1.2. Schematizzazione del