Esercitazione 3 Fenomeni di trasporto

Esercitazione 3

Esercizio 1 (F)

Un elemento combustibile nucleare di forma sferica di raggio R è circondato da un rivestimento sferico in alluminio di raggio esterno R. Il combustibile è sede di una reazione nucleare che genera un'energia termica per unità di volume di elemento combustibile pari a Sn e valutabile attraverso la seguente relazione:

2[1 ( ) ] = ∙ + ∙ (3.1.1) 0 () Con e costanti.0

Si determini il profilo di temperatura attraverso il combustibile ed il suo rivestimento, nelle due situazioni seguenti:

• Sia nota la temperatura T₀ del rivestimento esterno
• La particella sia a contatto con un fluido esterno che si trova a T_f

Esercizio 2

Si consideri il moto di un fluido Newtoniano tra due cilindri coassiali, uno dei quali (quello esterno) in rotazione con elevata velocità angolare. In conseguenza di ciò, il fluido contenuto tra i due strati si metterà in rotazione e, a causa dell'attrito viscoso, si verificheranno fenomeni di dissipazione dell'energia meccanica che comportano la sua conversione in energia termica. L'energia generata per unità di volume risulterà dipendente dal gradiente di velocità.

Nell'ipotesi che R>>b, e che quindi si possa passare dalle coordinate cilindriche a quelle rettangolari:

= − (3.2.1)

Con:

( ) ( ) = = Ω ∙ (3.2.2)

Si determini il profilo di temperatura attraverso il fluido.

Esercizio 1 (F)

Un elemento combustibile nucleare di forma sferica di raggio R è circondato da un rivestimento sferico in alluminio di raggio esterno R. Il combustibile è sede di una reazione nucleare che genera un'energia termica per unità di volume di elemento combustibile pari a Sn e valutabile attraverso la seguente relazione:

2[1 ( ) ] = ∙ + ∙ (3.1.1) 0 () Con e costanti.0

Si determini il profilo di temperatura attraverso il combustibile ed il suo rivestimento, nelle due situazioni seguenti:

• Sia nota la temperatura T₀ del rivestimento esterno
• La particella sia a contatto con un fluido esterno che si trova a T_f

Figura 3.1.1 Schematizzazione geometrica del sistema

Scriviamo l'equazione di bilancio in condizioni di stazionarietà, in particolare il flusso termico si svilupperà in direzione radiale e di conseguenza l'elementino su cui scrivere l'equazione di bilancio è un guscio sferico con raggio compreso tra r e r + Δr (in rosso).

Scrivendo il bilancio per il combustibile (F: fuel):

() ()2 2 2| | 4 − 4 + 4 Δ = 0 +Δ + (3.1.2)

() () ()2 2| | 4 − 4 : portata termica entrante lungo r meno quella +Δ () uscente. : termine di generazione espresso in termini di energia per unità di volume e per unità di tempo.

Figura 3.1.2 Rappresentazione geometria radiale in cui è stato applicato il bilancio

Non è presente il termine di accumulo in quanto siamo in condizioni di stazionarietà e non è presente il termine convettivo in quanto abbiamo a che fare con un solido.

4Δ: Dividiamo tutto per () ()2 2| | − +Δ (3.1.3)2+ = 0ΔΔ → 0 Facendo il limite e andando a sostituire l'espressione di , che risulta essere dipendente dalla variabile radiale, otteniamo:

2 ()2 2( ) [1 ( ) ]− + ∙ + ∙ = 0 (3.1.4)0 ()

Questa è l'equazione di bilancio per quanto concerne il combustibile nucleare. Se scrivessimo l'equazione di bilancio per quanto concerne il rivestimento otterremo esattamente la stessa equazione di bilancio, con l'unica differenza che dovremmo omettere il termine di generazione in q.