Esercitazione 4 Svolta

1. Esercitazione 6/11/2018

Determinare per quali valori di α ≠ 0 e β ∈ ℝ la funzione seguente è continua:

f(x) = x/|αx| se x β - 1 se x = 0 e^βx(2β - x) se x > 0

Svolgimento

Dobbiamo studiare la continuità in x --> 0.

Calcolo lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ e^βx(2β - x) = 2β = f(0) = β - 1.

2β = β - 1 → β = -1.

Calcolo lim_x→0^- x/|αx| = lim_x→0^- sgn(x) |x|/|αx| = lim_x→0^- -1/|α| = -1/|α| = f(0) = (β - 1) = -2 → -1/|α| = -2 ossia |α| = 1/2.

sign(x) = funzione segno = 1 se x > 0, -1 se x

|x| = x se x > 0, -x se x

Se x > 0 → x vale |x| = -x.

Se x

(1) Esercitazione 6/11/2018

Determinate per quali valori di α ≠ 0 e β ∈ R la funzione seguente è continua:

f(x) = {−^x⁄_−α∣x∣ se x < 0 β - 1 se x = 0 e^βx (2β − x) se x > 0

Svolgimento

Dobbiamo studiare la continuità in x → 0.

Calcolo  ^lim⁄_x→0⁺ f(x) = lim ^eβx⁄_x→0⁺ (2β - x) = 2β = f(0:) = β - 1 ⇔2β = β - 1   ⇒   β = −1.

Calcolo  lim⁄x→0− x⁄−α∣x∣ = lim sgn(x)⁄x→0− ∣x∣ = lim —−1⁄x→00 ∣0∣ = —1⁄0∣ == f(o:) = β - 1 = -2   ⇒  1⁄−α∣ = —2   ossia −α∣ ≠ 0 ⇔−α = –1⁄2.

sign(x) = funzione segno = 1 se > 0 | -1 se x = sgn(x)∣x∣^x⁄_x   x = {x se x > 0, -x se x < 0.

Se x > 0   &star; VALE.

Se x < 0   &star; sgn(x) = -1  ∣x∣ = -xx² = (-1) ◦ —(-x) = x.

Per casa

Studiare la continuità delle funzione:

f(x) = \(\frac{(e^{-x}-1) \log(1+x^2)}{x \sqrt{N^{4+3x-1}}}\)

Stabilire se \( f \) è prolungabile per continuità e scrivere l'eventuale estensione continua.

Idea di procedimento risolutivo

Studiare \( x = 0 \).

Se ∃ f estensione \(\widetilde{f} \Rightarrow \widetilde{f} = \begin{cases} f & \text{se } x \neq 0 \\ \lim_{x \to 0} f(x) & \text{se } x = 0 \end{cases}\)

NOTA: usare equivalenze esimi.

Se \( x \to 0 \Rightarrow (1+x)^\alpha \sim \alpha x\) \((\alpha = \frac{1}{3})\)

Dimostrare che le funzione f(x) = log (x + sin x) non ammette limite per \(x \to + \infty\)

Svolgimento:

Normalm. quando ci sono funzioni periodiche (sin x, cos x), bisogna usare definizione di limite e la periodicitŕ l'opzione trovare due successioni \(x_n\) e \(x_k\) tali che:

• \(x_n \to +\infty\) per \(n \to +\infty\)
• \(x_k \to +\infty\) per \(k \to +\infty\)
• \(\lim_{n \to +\infty} f(x_n) \neq \lim_{k \to +\infty} f(x_k)\)

Definisco \(x_n = n\pi\) con \(n=1,2,3\ldots\)

Si ha che \(x_n \to +\infty\) per \(n \to +\infty\) e \( \sin(x_n) = \sin(n\pi) = 0 \, \forall n \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = \lim_{n \to +\infty} \log(x_n + \sin(x_n)) = \log 2 \).

Definisco \(x_k = 2k\pi + \frac{\pi}{2} \, , \, k=1,2,3\ldots\) \(\Rightarrow\) questa succ. č t.c. \(x_k \to +\infty\) per \(k \to +\infty\).

E \( \sin(x_k) = \sin(2k\pi + \frac{\pi}{2}) = 1 \, \forall k\).

\(\lim_{K \to +\infty} f(x_k) = \lim_{K \to +\infty} \log(x_k + \sin(x_k)) = \log(3) \).

Quindi \(\lim_{n \to +\infty} f(x_n) \neq \lim_{K \to +\infty} f(x_k) \Rightarrow \log 3 \ne \log 2 \).

Esercitazione 36/11/2019

(Un teorema di punto fisso. Supponiamo che f(x) sia una funzione continua nell'intervallo chiuso [0,1] e che sia compresa 0 ≤ f(x) ≤ 1 ∀ x ∈ [0,1]. Mostrare che deve esistere un C ∈ [0,1] tale che f(C) = C.

PUNTO FISSO della funzione f.

Soluzione

Se f(0) = 0 => ok perché prendo c = 0.

Se f(1) = 1 => ok perché prendo c = 1.

Se f(0) ≠ 0 e f(1) ≠ 1.

Necessariamente f(0) > 0 e f(1).

Definisco g(x) = f(x) - x; osservo che g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0.

g(1) = f(1) - 1 0, g(1) per teorema esistenza degl. zeri, ∃ C ∈ (0,1) t.c. g(C) = 0 ⇒ f(C) - C = 0 ⇒ f(C) = C ✓

5. Calcola i seguenti limiti di funzione

A)

lim x→+∞ (1 + ¹/_4x⁴)^{x4 - 2x} ⇒ se X_n→+∞ → lim n→+∞ (1 + ¹/_Xn)^X_n = e = lim x→+∞ (1 + ¹/_4x⁴)^(x4) (1 + ¹/_4x⁴)^{-2(x - 2x3)} = lim x→+∞ e^1⁄₄ e^{-2x3⁄_2x3 e4⁄₄}

B)

lim_x→0 (1 - √1+x)/sinx.

Per x→0 sinx ∼ x; (1+x)^½ - 1 ∼ ½ x.

Nel nostro caso a = ½ e 1-(1+x) ∼ ½ x.

lim_x→0 ½ x/x = ½.

EQ. ASINTOTICHE.

C)

lim_x→+∞ (x - log (1/x)).

No equivalenze asintotiche.

Usiamo gerarchie infiniti.

lim_x→+∞ (x - log(x^-1)) = lim_x→+∞ (x + log x) = +∞.

(Volendo continuare) lim_x→+∞ x (1 + log x/x) = +∞.

D)

lim_x→+∞ arctan (3 + x²)/x².

(No eq. asintotica x² x non tende a 0.)

Voglio usare: a_n→0 b_n→0 per n→+∞.

arctan(3 + x²)/x² ≤ cost. →0 per x→+∞.

Una costante sicur. più piccola di π/2.

E)

lim_x→0 (e^x2-1 arctan(x⁴-3x))/(5x⁴ + 2x³) = lim_x→0 x²(x⁴ - 3x)^-1 lim_x→0 x³(5x³ + 2) = lim_x→0 x³-3/5x⁴2 = -3/2.

Usiamo: Per e(x)→0 arctan(e(x)) ∼ e(x).

e^x-1 ∼ e(x).