Esercitazione 1 svolta

Esercizio 2

Stabilire se sono iniettive le seguenti:

• A) \( f(x) = \frac{x - 1}{2x} \)
• B) \( f(x) = \log(x^2 + 1) \)
• C) \( f(x) = \frac{1 - e^x}{1 + e^x} \)
• D) \( f(x) = x + \frac{1}{x} \)

2 metodi

• A) \( f(x) = \frac{x - 1}{2x} \)

  \( \frac{x - 1}{2x} = y \)

  \( x - 1 = 2xy \)

  \( x - 2xy = 1 \)

  \( x (1 - 2y) = 1 \)

  \( x = \frac{1}{1 - 2y} \)

  Soluzione unica

• B) \( f(x) = \log(x^2 + 1) \)

  \( f' \) è iniettiva se \( x, y \in \mathbb{R} \)

  \( f(x) = f(y) \implies x = y \)

  \( \log(1 + x^2) = \log(1 + y^2) \implies x^2 = y^2 \)

  Annulli i logaritmi perché hanno stessa base.

  No unica soluzione, non iniettiva.

  Se 2 logaritmi hanno stessa base e stesso argomento, sono uguali.

Esercizio 2

Stabilite se sono iniettive le seguenti:

• A) \( f(x) = \frac{x - 1}{2x} \)
• B) \( f(x) = \log(x^2 + 1) \)
• C) \( f(x) = \frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}} \)
• D) \( f(x) = x + \frac{1}{x} \)

2 metodi

• A) \( f(x) = \frac{x - 1}{2x} \)

  1) Isolo la \( x \).

  \( \frac{x-1}{2x} = y \Leftrightarrow x-1 = 2xy \Leftrightarrow x-2xy = 1 \Leftrightarrow x(1-2y) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{1-2y} \) - Soluzione unica.

• B) Dom(f) = ℝ.

  \( f(x) = \log(x^2+1) \)

  \( f \) è iniettiva se \( x, y \in \mathbb{R} \), \( f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y \).

  \( f(x) = f(y) \Leftrightarrow \log(1+x^2) = \log(1+y^2) \Leftrightarrow 1+x^2 = 1+y^2 \Leftrightarrow x^2 = y^2 \Leftrightarrow x = y \)

  Annulli i logaritmi perché hanno stessa base.

  Se 2 logaritmi hanno stessa base e stesso argomento, sono uguali.

Esercizio 3

Disegnare grafico delle seguenti funzioni:

Si consideri \( f(x) \) delle dei:

Disegnare grafico seguenti funzioni:

• A₁) \( f(x) + 2 \)
• B¹) \( f(x - 3) \)
• A₂) \( f(-x) \)
• B²) \( -f(x) \)
• C) \( -f(-x) \)
• A₃) \( |f(x)| \)
• B³) \( f(|x|) \)

• Sono traslazioni di \( f(x) \).

Si ottengono con \( g(t) = t + k \).

\( k = 2 \) in A.

\( k = 3 \) in B.

• Sono simmetrie di \( f(x) \).

Si ottengono da \( g(t) \).

Definiz. Se \( f(x) = f(-x) \) \( \forall x \in \text{Dom}(f) \), le funzione è pari.

Se \( f(x) = -f(x) \) \( \forall x \in \text{Dom}(f) \), le funzione è dispari.

• Sono composizioni con la funzione modulo.

Grafici

A₁) \( f(x) + 2 \)

B₁) \( f(x - 3) \)

A₂) Gr. deve essere simmetrico ad asse y: \( f(-x) \).

B₂) \( -f(x) \). Gr. simmetrico rispetto ad asse x.

Esercizio 3

Gr. simmetrico rispetto all'origine (La ribaltiamo 2 volte) \( f(x) \).

Parti positive rimangono uguali, parti negative le ribalto rispetto ad asse x.

• \( f(x) \) Gr. sarà sicuramente positivo. (ASSE y)
• \( f(|x|) \) DEF. \( f(|x|) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x > 0 \\ f(-x) & \text{se } x < 0 \end{cases} \)

Perché \( f(-(-x))=f(x) \).

Esercizio 4

Determinate sup e inf. dei seguenti insiemi; (e stabilire se si tratta di un max o un min)

• A = { \( n/(n+1) \), \( n = 1, 2, \ldots \) }
• B = { \( (n+1)/n \), \( n = 1, 2, \ldots \) }
• C (per caso) = { \( (3n+2)/n \), \( n = 1, 2, \ldots \) }

Svolgimento

A sup A = 1; non è max perché \( 1 \notin A \).

A = { \( 1/2 \), \( 2/3 \), \( 3/4 \), ... } → proviamo e dimostrare che inf A = \( \frac{1}{2} \) (il valore più piccolo dell'insieme).

Dimostrazione

• Dimostro che \( \frac{1}{2} \) è un minorante dell'insieme A.

\( \frac{1}{2} \leq n/(n+1) \rightarrow n+1 \leq 2n \rightarrow 1 \leq n \rightarrow \frac{1}{2} \) è un minorante A per A.

Dal momento che \( \frac{1}{2} \in A \), allora \( \frac{1}{2} = \inf A = \min A \).

Conclusioni

A è limitato; sup(A) = 1 e inf(A) = min A = \( \frac{1}{2} \).

Esercizio 4

B = { \( \frac{n + 1}{n} \), \( n = 1, 2, \ldots \) }

B = { 2, \( \frac{3}{2} \), \( \frac{4}{3} \), ... }

Voglio provare che sup B = 2.

Devo dimostrare prima che 2 è un maggiorante di B:

\( 2 \geq \frac{n + 1}{n} \) \( \forall n \geq 1 \Leftrightarrow 2n \geq n + 1 \Leftrightarrow n \geq 1 \rightarrow \) ok, è un maggiorante.

Dato che \( 2 \in B \), si ha che sup B = max B = 2.

Per inf B ⇒ B = { 2, \( \frac{3}{2} \), \( \frac{4}{3} \), ... }

Voglio provare che inf B = 1.

Dimostro che 1 è un minorante B.

\( 1 \leq \frac{n + 1}{n} \) \( \forall n \geq 1 \Leftrightarrow n + 1 \geq n \Leftrightarrow 0 \leq 1 \Leftrightarrow \) ok quindi 1 è un minorante per B.

Ora, per dimostrare che 1 è inf B, devo provare che nessun altro \( m > 1 \) è minorante (quindi che nessun altro numero maggiore di 1).

Tuttavia, questo è vero perché la condizione \( m \leq \frac{n + 1}{n} \) (minorante) non è soddisfatta da tutti gli n.

Vediamo perché: iponiamo questa condizione:

\( m \leq \frac{n + 1}{n} \Rightarrow mn \leq n + 1 \Rightarrow mn - n \leq 1 \Rightarrow (m - 1)n \leq 1 \Rightarrow n \leq \frac{1}{m - 1} \)

Questo dimostra che questa condizione non è valida per tutti gli n, quindi: inf B = 1.

Conclusioni

B è limitato; sup B = max B = 2; inf B = 1.